Cho tỉ lệ thức sau

Để chứng minh tỉ lệ thức \(\frac{2a^2 - 3ab + 5b^2}{2b^2 + 3ab} = \frac{2c^2 - 3cd + 5d^2}{2d^2 + 3cd}\) với điều kiện \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Giả thiết**: Giả sử \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\). Do đó, ta có:
- \(a = kb\)
- \(c = kd\)

2. **Thay thế \(a\) và \(c\)** bằng các biểu thức liên quan đến \(b\) và \(d\) vào biểu thức tỉ lệ thức.

3. **Tính biểu thức bên trái**:
\[
2a^2 - 3ab + 5b^2 = 2(kb)^2 - 3(kb)b + 5b^2 = 2k^2b^2 - 3kb^2 + 5b^2
\]
\[
= (2k^2 - 3k + 5)b^2
\]

\[
2b^2 + 3ab = 2b^2 + 3(kb)b = 2b^2 + 3kb^2 = (2 + 3k)b^2
\]

Vậy biểu thức bên trái trở thành:
\[
\frac{(2k^2 - 3k + 5)b^2}{(2 + 3k)b^2} = \frac{2k^2 - 3k + 5}{2 + 3k}
\]

4. **Tính biểu thức bên phải**:
\[
2c^2 - 3cd + 5d^2 = 2(kd)^2 - 3(kd)d + 5d^2 = 2k^2d^2 - 3kd^2 + 5d^2
\]
\[
= (2k^2 - 3k + 5)d^2
\]

\[
2d^2 + 3cd = 2d^2 + 3(kd)d = 2d^2 + 3kd^2 = (2 + 3k)d^2
\]

Vậy biểu thức bên phải trở thành:
\[
\frac{(2k^2 - 3k + 5)d^2}{(2 + 3k)d^2} = \frac{2k^2 - 3k + 5}{2 + 3k}
\]

5. **Kết luận**: Do đó, ta có:
\[
\frac{2a^2 - 3ab + 5b^2}{2b^2 + 3ab} = \frac{2c^2 - 3cd + 5d^2}{2d^2 + 3cd}
\]

Như vậy, đã chứng minh được tỉ lệ thức này với điều kiện mẫu thức xác định.