Để giải bài toán này, ta cần phân tích điều kiện chia hết cho 10 và không chia hết cho 10 của biểu thức \( A = 10 + 15 + 20 + x \).

Đầu tiên, ta tính tổng \( 10 + 15 + 20 \):
\[
10 + 15 + 20 = 45
\]
Vậy biểu thức \( A \) có thể viết lại là:
\[
A = 45 + x
\]

### Điều kiện 1: \( A \) chia hết cho 10
Một số chia hết cho 10 khi chữ số hàng đơn vị của nó bằng 0. Ta xét tổng \( 45 + x \):
- Chữ số đơn vị của 45 là 5. Để tổng \( A \) chia hết cho 10, chữ số hàng đơn vị của \( 45 + x \) phải bằng 0. Điều này có nghĩa là chữ số hàng đơn vị của \( x \) phải bằng 5 (bởi vì 5 + 5 = 10).

Vậy, \( x \) có dạng:
\[
x = 5, 15, 25, 35, \ldots
\]
Hay nói cách khác, \( x \equiv 5 \mod 10 \).

### Điều kiện 2: \( A \) không chia hết cho 10
Để \( A \) không chia hết cho 10, nghĩa là chữ số hàng đơn vị của \( A\) không được phép là 0. Điều này có nghĩa là chữ số hàng đơn vị của \( 45 + x \) phải khác 0.

Nếu \( x \) có dạng \( x = 0, 10, 20, 30, \ldots \) (khi \( x \equiv 0 \mod 10\)), thì \( A \) chắc chắn sẽ chia hết cho 10.
Nếu \( x \) có dạng \( x = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 \) (khi \( x \equiv 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 \mod 10\)), thì \( A \) sẽ không chia hết cho 10.

### Tổng hợp điều kiện:
- Để \( A \) chia hết cho 10, \( x \) phải có dạng \( 5 + 10k \) (với \( k \) là một số tự nhiên).
- Để \( A \) không chia hết cho 10, \( x \) không được có dạng \( 0, 10, 20, 30, \ldots\) (tức là \( x \equiv 0 \mod 10\)).

### Kết luận:
Sau khi phân tích, chúng ta có điều kiện là:
- \( x = 5, 15, 25, \ldots \) thỏa mãn điều kiện \( A \) chia hết cho 10.
- Để điều kiện không chia hết cho 10 được thỏa mãn, ta cần chọn đúng giá trị cho \( x \) sao cho \( x \neq 0, 10, 20, \ldots \).

Do đó, để \( A \) chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 10, bạn có thể lấy các giá trị của \( x \) như 5, 15, 25, 35, và luôn giữ cho tổng \( A \) không nằm trong các số chia hết cho 10 (\( 0, 10, 20, \ldots \)).