Để giải phương trình \( \sin^3 x + \cos^3 x = \sin x - \cos x \), trước tiên chúng ta có thể dùng công thức biến đổi cho tổng khối lập phương:

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Trong trường hợp này, đặt \( a = \sin x \) và \( b = \cos x \), ta có:

\[
\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)
\]

Vì \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), nên:

\[
\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin x \cos x
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = \sin x - \cos x
\]

Bây giờ, tái sắp xếp phương trình, ta có:

\[
(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) - (\sin x - \cos x) = 0
\]

Mở rộng và sắp xếp lại sẽ dẫn đến:

\[
\sin x + \cos x - \sin x \cos^2 x - \cos x \sin^2 x - \sin x + \cos x = 0
\]

Ta có:

\[
2\cos x - \sin x \cos^2 x - \sin^2 x \cos x = 0
\]

Chia cả hai vế cho \( \cos x \) (giả sử \( \cos x \neq 0 \)), ta được:

\[
2 - \sin x \cos x - \sin^2 x = 0
\]

Bạn có thể thay \( \sin x = t \), với \( t^2 + \cos^2 x = 1 \) tức là \( \cos^2 x = 1 - t^2 \). Thay vào phương trình:

\[
2 - t(1-t^2) - t^2 = 0
\]

Giải phương trình này sẽ tìm ra giá trị của \( t = \sin x \), và từ đó tìm ra \( x \).

Nếu cần có thêm thông tin cụ thể hơn về cách giải, hoặc nếu bạn muốn giải phương trình trong khoảng nào, hãy cho tôi biết!