Để chứng minh tỉ lệ thức \(\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}\) từ giả thiết \(\frac{ab}{bc} = \frac{b}{c}\), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Bắt đầu từ giả thiết:**

Từ tỉ lệ thức đã cho:

\[
\frac{ab}{bc} = \frac{b}{c}
\]

Ta nhân chéo (điều này hợp lệ vì \(c \neq 0\)):

\[
ab \cdot c = b \cdot bc
\]

Rút gọn:

\[
ac = b^2
\]

Hay là:

\[
a = \frac{b^2}{c}
\]

2. **Thay vào biểu thức cần chứng minh:**

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}
\]

Thay \(a = \frac{b^2}{c}\) vào biểu thức bên trái:

\[
a^2 = \left( \frac{b^2}{c} \right)^2 = \frac{b^4}{c^2}
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
\frac{\frac{b^4}{c^2} + b^2}{b^2 + c^2}
\]

Đưa về cùng mẫu:

\[
= \frac{\frac{b^4 + b^2c^2}{c^2}}{b^2 + c^2} = \frac{b^4 + b^2c^2}{c^2(b^2 + c^2)}
\]

3. **Rút gọn biểu thức:**

Ta tính tiếp biểu thức bên phải:

\[
\frac{a}{c} = \frac{\frac{b^2}{c}}{c} = \frac{b^2}{c^2}
\]

Rồi so sánh:

Ta có:

\[
b^4 + b^2c^2 = b^2(b^2 + c^2)
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{b^4 + b^2c^2}{c^2(b^2 + c^2)} = \frac{b^2(b^2 + c^2)}{c^2(b^2 + c^2)}
\]

Giản lược sẽ cho ta:

\[
= \frac{b^2}{c^2}
\]

4. **Kết luận:**

Như vậy, ta đã chứng minh được:

\[
\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}
\]

Điều này hoàn tất sự chứng minh.