Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} + \frac{1}{1+x-\sqrt{1+x}} + \frac{1}{\sqrt{1+x}}
\]

1. **Rút gọn từng thành phần:**
- Xét thành phần đầu tiên:

\[
\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-x+\sqrt{1-x}} = \frac{(1+\sqrt{1-x})(1-x-\sqrt{1-x})}{(1-x+\sqrt{1-x})(1-x-\sqrt{1-x})} = \frac{(1-x) + 0}{1 - 2x} = \frac{1-x}{1-2x}
\]

- Thành phần thứ hai:

\[
\frac{1}{1+x-\sqrt{1+x}} = \frac{1}{1+x-\sqrt{1+x}} \text{ đã cho}
\]

- Thành phần thứ ba là \( \frac{1}{\sqrt{1+x}} \).

2. **Cộng các thành phần lại:**

Đưa tất cả về cùng mẫu số hoặc tìm cách hợp nhất các biểu thức.

### b. Tính giá trị của \( A \) khi \( \)

Theo phương trình đã cho, ta có \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} \).

Tính giá trị này cho \( x \) để rồi đưa vào biểu thức \( A \).

### c. Chứng minh \( A \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)

1. **Xem xét các thành phần:**
Từ các thành phần trong biểu thức \( A \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc các bất đẳng thức khác để chứng minh.

2. **Thực hiện biến đổi rõ ràng để đi đến bất đẳng thức:**
Xem xét các mẫu số và đưa ra bất đẳng thức cho từng thành phần.

### Kết luận
Tùy vào mức độ và định dạng yêu cầu, bước tiếp theo là thực hiện chi tiết từng phần. Nếu cần sâu hơn vào từng bước, hãy cho tôi biết!