Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp.

### 1. Biểu thức \( A = |x - 2019| + |x - 2020| + |x - 2021| \)

Biểu thức này là tổng của ba giá trị tuyệt đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần xác định vị trí của \( x \) liên quan đến ba điểm \( 2019, 2020, 2021 \).

**Phân tích:**
- Nếu \( x \leq 2019 \): \( A = (2019 - x) + (2020 - x) + (2021 - x) = 3x - 6060 \) (giá trị này giảm khi \( x \) tăng).
- Nếu \( 2019 \leq x < 2020 \): \( A = (x - 2019) + (2020 - x) + (2021 - x) = 2021 - x \).
- Nếu \( 2020 \leq x < 2021 \): \( A = (x - 2019) + (x - 2020) + (2021 - x) = x - 2019 + x - 2020 + 2021 - x = x - 2018 \).
- Nếu \( x \geq 2021 \): \( A = (x - 2019) + (x - 2020) + (x - 2021) = 3x - 6060 \) (giá trị này lại tăng khi \( x \) tăng).

**Kết luận:**
Giá trị nhỏ nhất xảy ra khi \( x = 2020 \), lúc này:
\[
A(2020) = |2020 - 2019| + |2020 - 2020| + |2020 - 2021| = 1 + 0 + 1 = 2
\]

### 2. Biểu thức \( A = |2x + 1000| + |2x - 2020| \)

**Phân tích:**
Ta sẽ tìm các điểm mà các biểu thức trong giá trị tuyệt đối bằng 0:
- \( 2x + 1000 = 0 \Rightarrow x = -500 \)
- \( 2x - 2020 = 0 \Rightarrow x = 1010 \)

**Xét các khoảng:**
- Nếu \( x < -500 \): \( A = -(2x + 1000) - (2x - 2020) = -2x - 1000 + 2020 = -2x + 1020 \).
- Nếu \( -500 \leq x < 1010 \): \( A = (2x + 1000) - (2x - 2020) = 2x + 1000 - 2x + 2020 = 3020 \).
- Nếu \( x \geq 1010 \): \( A = (2x + 1000) + (2x - 2020) = 4x - 1020 \).

**Giá trị cực tiểu:**
- Ở khoảng \([-500, 1010]\), giá trị là \( 3020 \).
- Tại \( x = -500 \): \( A(-500) = |2*(-500) + 1000| + |2*(-500) - 2020| = |0| + |-3020| = 3020\).
- Tại \( x = 1010 \): \( A(1010) = |2*1010 + 1000| + |2*1010 - 2020| = |3020| + |0| = 3020\).

Ngoài các điểm trên, ta đã thấy rằng \( A \) luôn lớn hơn hoặc bằng 3020 trong các khoảng xét.

### Kết luận
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức **1** là \( 2 \).
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức **2** là \( 3020 \).