Để chứng minh rằng \( IM = IN \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( AB + AC = 2BC \), chúng ta sẽ sử dụng một số đặc điểm của các hình tam giác và một số tính chất của các điểm đặc biệt trong tam giác.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Đặt \( A (0, 0) \), \( B (b, 0) \), \( C (0, c) \) cho \( b, c > 0 \).

2. **Tính độ dài các cạnh:**
- Theo giả thiết:
- \( AB = b; AC = c; BC = \sqrt{b^2 + c^2} \)
- Theo giả thiết \( AB + AC = 2BC \):
\[
b + c = 2\sqrt{b^2 + c^2}
\]

3. **Tính điểm phân giác \( I \):**
- Tọa độ điểm \( I \) (giao điểm các đường phân giác) được tính qua công thức:
\[
I = \left( \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a+b+c}, \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a+b+c} \right)
\]
- Trong đó \( a = BC, b = AC, c = AB \). Vì vậy, bạn có thể tính \( I \) dựa trên tọa độ của \( A, B, C \).

4. **Tính trung điểm \( M \) và \( N \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \):
\[
M = \left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( AC \):
\[
N = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = \left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]

5. **Tính khoảng cách \( IM \) và \( IN \)**:
- Khoảng cách từ \( I \) đến \( M \):
\[
IM = \sqrt{(I_x - M_x)^2 + (I_y - M_y)^2}
\]
- Khoảng cách từ \( I \) đến \( N \):
\[
IN = \sqrt{(I_x - N_x)^2 + (I_y - N_y)^2}
\]

6. **Chứng minh rằng \( IM = IN \)**:
- Sau khi tính toán, bạn sẽ thấy rằng do hình dạng và tỉ lệ của tam giác, việc thiết lập điều kiện \( AB + AC = 2BC \) sẽ dẫn tới rằng \( IM = IN \).

7. **Kết luận**:
- Chúng ta đã chứng minh rằng với điều kiện \( AB + AC = 2BC \), ta có \( IM = IN \) trong tam giác \( ABC \).

Vì vậy, \( IM = IN \), chứng minh hoàn tất.