Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức về thể tích và diện tích của hình hộp chữ nhật.

1. **Tính chiều dài và chiều rộng của đáy thùng:**

- Gọi chiều dài của đáy thùng là \( l \) (dm), chiều rộng là \( w \) (dm).
- Theo đề bài, chiều cao của thùng \( h = 2 \) dm và thể tích của thùng được cho bởi công thức:
\[
V = l \times w \times h
\]
- Ta có thể tích \( V = 20 \) dm³, do đó:
\[
20 = l \times w \times 2
\]
- Rút gọn, ta có:
\[
l \times w = 10 \quad (1)
\]

- Cũng theo đề bài, chiều rộng \( w \) bằng \( \frac{5}{8} \) chiều dài \( l \):
\[
w = \frac{5}{8}l \quad (2)
\]

- Thay phương trình (2) vào (1) để tính \( l \):
\[
l \times \frac{5}{8}l = 10
\]
\[
\frac{5}{8}l^2 = 10
\]
\[
l^2 = 10 \times \frac{8}{5}
\]
\[
l^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad l = 4 \, \text{dm}
\]

- Bây giờ thay giá trị \( l \) vào (2) để tính \( w \):
\[
w = \frac{5}{8} \times 4 = \frac{20}{8} = 2.5 \, \text{dm}
\]

- Vậy chiều dài và chiều rộng của đáy thùng lần lượt là:
\[
l = 4 \, \text{dm}, \quad w = 2.5 \, \text{dm}
\]

2. **Tính diện tích bìa catong:**

- Diện tích bìa catong tạo thành thùng không kể chỗ ghép nối gồm 5 mặt. Diện tích 2 đáy và 4 mặt bên.
- Diện tích một đáy là:
\[
A_{đáy} = l \times w = 4 \times 2.5 = 10 \, \text{dm}^2
\]
- Diện tích 2 đáy:
\[
A_{2 \, đáy} = 2 \times A_{đáy} = 2 \times 10 = 20 \, \text{dm}^2
\]

- Diện tích 4 mặt bên:
- Diện tích 2 mặt có chiều dài \( l \):
\[
A_{mặt_{l}} = 2 \times (l \times h) = 2 \times (4 \times 2) = 16 \, \text{dm}^2
\]
- Diện tích 2 mặt có chiều rộng \( w \):
\[
A_{mặt_{w}} = 2 \times (w \times h) = 2 \times (2.5 \times 2) = 10 \, \text{dm}^2
\]

- Do đó, tổng diện tích bìa catong là:
\[
A_{tổng} = A_{2 \, đáy} + A_{4 \, mặt \, bên} = 20 + (16 + 10) = 20 + 26 = 46 \, \text{dm}^2
\]

Vậy, chiều dài của đáy thùng là 4 dm, chiều rộng là 2.5 dm, và diện tích bìa catong để làm thùng là 46 dm².