Cho hình thang cân ABCD, AB//CD, gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh rằng DE = CF

Để chứng minh rằng \( DE = CF \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. **Đặt hệ tọa độ:**
Giả sử hình thang ABCD có các điểm được đặt như sau:
- \( D = (0, 0) \)
- \( C = (b, 0) \)
- \( A = (m, h) \)
- \( B = (n, h) \)
Trong đó \( m \) và \( n \) là các hoành độ của các đỉnh A và B, và chiều cao của hình thang là \( h \). Vì ABCD là hình thang cân, ta có \( m + n = b \) và \( m = (b - n) \) với \( n \) ở giữa \( 0 \) và \( b \).

2. **Xác định tọa độ các điểm E và F:**
- Điểm \( E \) là hình chiếu của \( A \) trên \( CD \), nên tọa độ của \( E \) là \( (m, 0) \).
- Điểm \( F \) là hình chiếu của \( B \) trên \( CD \), nên tọa độ của \( F \) là \( (n, 0) \).

3. **Tính độ dài DE và CF:**
- Độ dài \( DE = \) khoảng cách từ \( D \) đến \( E \):
\[
DE = |x_E - x_D| = |m - 0| = m.
\]
- Độ dài \( CF = \) khoảng cách từ \( C \) đến \( F \):
\[
CF = |x_F - x_C| = |n - b| = |n - b|.
\]
Tuy nhiên, từ giả thiết \( m + n = b \), nên \( b = m + n \), do đó \( CF = |n - (m + n)| = |n - m - n| = | - m | = m \).

4. **Kết luận:**
Vậy ta có \( DE = m = CF \), do đó \( DE = CF \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( DE = CF \) trong hình thang cân \( ABCD \).