Để chứng minh rằng \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) với mọi \( x \), ta sẽ sử dụng định lý về nghiệm và bất đẳng thức.

1. **Tính giá trị của Δ** (định thức của phương trình bậc hai):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

2. **Kết luận từ giá trị Δ**:
Vì \( \Delta < 0 \), phương trình bậc hai \( x^2 + 2x + 3 = 0 \) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức \( x^2 + 2x + 3 \) luôn dương trong toàn bộ tập số thực.

3. **Kiểm tra các giá trị cụ thể**:
- Khi \( x = 0 \):
\[
0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3 > 0
\]
- Khi \( x = -1 \):
\[
(-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 > 0
\]
- Khi \( x = -2 \):
\[
(-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 > 0
\]
Dễ dàng nhận thấy biểu thức luôn dương.

4. **Kết luận**:
Vậy ta có thể kết luận rằng \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).