Để giải quyết bài toán này, ta bắt đầu từ thông tin đã cho: \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) và \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Điều này cho thấy góc \( \alpha \) nằm trong vùng II hoặc III, trong đó ta biết rằng:

- Tại vùng II: \( \sin > 0 \) và \( \cos < 0 \)
- Tại vùng III: \( \sin < 0 \) và \( \cos < 0 \)

Vì \( \sin \alpha = \frac{1}{3} > 0 \), ta có thể kết luận rằng \( \alpha \) nằm trong vùng II.

### Tính giá trị của \( \cos \alpha \)

Sử dụng định lý Pythagore:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1
\]
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]

Vì \( \alpha \) ở vùng II (điều này có nghĩa là \( \cos \alpha < 0 \)):
\[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}
\]

### Kiểm tra từng lựa chọn

**A. \( \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \) - Đúng.**

**B. \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \)**
\[
\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot -\frac{2\sqrt{2}}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{9}
\]
Do đó, \( \sin 2\alpha \) không bằng \( -\frac{4\sqrt{2}}{9} \), vì vậy:
**B. Sai.**

**C. \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \)**
\[
\cos 2 \alpha = 2\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{8}{9} - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{16}{9} - \frac{9}{9} = \frac{7}{9}
\]
**C. Đúng.**

**D. \( \cot 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \)**
\[
\cot 2\alpha = \frac{\frac{7}{9}}{-\frac{4\sqrt{2}}{9}} = -\frac{7}{4\sqrt{2}} = -\frac{7\sqrt{2}}{8}
\]
Do đó, \( \cot 2\alpha \) không bằng \( \frac{7\sqrt{2}}{8} \) mà là \( -\frac{7\sqrt{2}}{8} \).
**D. Sai.**

### Tổng kết
A: Đúng
B: Sai
C: Đúng
D: Sai