Để chứng minh rằng phương trình \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \), trước tiên chúng ta có thể sử dụng phép phân tích bậc hai hoặc định lý về bất phương trình bậc hai.

1. **Tính delta**:
Đặt \( f(x) = x^2 + 2x + 3 \).
Phương trình này là một hàm bậc hai với hệ số a = 1, b = 2, c = 3.

Tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

Vì delta âm (\( \Delta < 0 \)), điều này có nghĩa là phương trình bậc hai \( f(x) = 0 \) không có nghiệm thực. Do đó, hàm \( f(x) \) không cắt trục hoành và vì a = 1 dương, hàm này sẽ có giá trị dương cho mọi \( x \).

2. **Giá trị của hàm số**:
Tiếp theo, chúng ta có thể xác định giá trị của hàm ở một số điểm để khẳng định lại kết quả.

- Khi \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3 > 0
\]
- Khi \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 > 0
\]
- Khi \( x = -2 \):
\[
f(-2) = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 > 0
\]

Như vậy, hàm số đã dương ở nhiều giá trị cụ thể.

3. **Kết luận**:
Từ việc tính delta và thử nghiệm các giá trị cụ thể, chúng ta có thể kết luận rằng \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) với mọi \( x \) thuộc tập số thực.

Vậy, \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).