Tìm các giá trị nguyên của ẩn để mỗi phương trình nhận giá trị nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của ẩn sao cho mỗi phương trình nhận giá trị nguyên, ta sẽ xem từng phương trình một:

### a) \( \frac{2y}{3 - y} \)

Để biểu thức này là một số nguyên, mẫu \(3 - y\) phải khác 0 (tức là \(y \neq 3\)) và \(2y\) phải chia hết cho \(3 - y\).

Ta có:

\[ \frac{2y}{3 - y} = k \]

với \(k\) là một số nguyên. Ta nhân chéo:

\[ 2y = k(3 - y) \]

\[ 2y = 3k - ky \]

\[ 2y + ky = 3k \]

\[ y(2 + k) = 3k \]

Từ đó, ta có:

\[ y = \frac{3k}{2 + k} \]

Để \(y\) là số nguyên, thì \(3k\) phải chia hết cho \(2 + k\).

Giả sử \(2 + k\) là ước của \(3k\). Chúng ta sẽ tìm điều kiện thỏa mãn:

1. **Nếu \(k = 0\)**: Ta có \(y = 0\) (chấp nhận).
2. **Nếu \(k = 1\)**: Ta có \(y = 1\) (chấp nhận).
3. **Nếu \(k = 2\)**: Ta có \(y = 3\) (không chấp nhận vì mẫu = 0).
4. **Nếu \(k = 3\)**: Ta có \(y = 4\) (chấp nhận).
5. **Nếu \(k = -1\)**: Ta có \(y = -3\) (chấp nhận).
6. **Nếu \(k = -2\)**: Ta có \(y = -6\) (chấp nhận).

Tiếp tục tính toán với các giá trị \(k\) khác sẽ cho ta các giá trị \(y\).

#### Giá trị cho \( y \):
- \(y = 0\)
- \(y = 1\)
- \(y = 4\)
- \(y = -3\)
- \(y = -6\)

### b) \( \frac{m + 5}{2m - 1} \)

Tương tự, để biểu thức này là một số nguyên, mẫu \(2m - 1\) phải khác 0 (tức là \(m \neq \frac{1}{2}\)) và \(m + 5\) phải chia hết cho \(2m - 1\).

Ta có:

\[ \frac{m + 5}{2m - 1} = k \]

với \(k\) là một số nguyên. Nhân chéo:

\[ m + 5 = k(2m - 1) \]

\[ m + 5 = 2km - k \]

\[ m - 2km = - k - 5 \]

\[ m(1 - 2k) = - k - 5 \]

Từ đó:

\[ m = \frac{-k - 5}{1 - 2k} \]

Để \(m\) là số nguyên, thì \(-k - 5\) phải chia hết cho \(1 - 2k\).

Ta kiểm tra các giá trị nguyên của \(k\):

1. **Nếu \(k = 0\)**: Ta có \(m = -5\) (chấp nhận).
2. **Nếu \(k = 1\)**: Ta có \(m = -3\) (chấp nhận).
3. **Nếu \(k = 2\)**: Ta có \(m = -4\) (chấp nhận).
4. **Nếu \(k = -1\)**: Ta có \(m = 4\) (chấp nhận).
5. **Nếu \(k = -2\)**: Ta có \(m = 1\) (chấp nhận).

#### Giá trị cho \( m \):
- \(m = -5\)
- \(m = -3\)
- \(m = -4\)
- \(m = 4\)
- \(m = 1\)

### Kết luận:
- Các giá trị nguyên của \(y\) trong a) là: \(0, 1, 4, -3, -6\)
- Các giá trị nguyên của \(m\) trong b) là: \(-5, -3, -4, 4, 1\)