Để vẽ parabol và xét tính đồng biến cũng như xét dấu của hàm số \( f(x) = -x^2 - 5x + 6 \), ta có thể thực hiện theo các bước sau:

### 1. Tìm đỉnh của parabol

Hàm bậc hai có dạng \( f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1, b = -5, c = 6 \).

Đỉnh của parabol có tọa độ:
\[
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot -1} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2} = -2.5
\]

Ta tính giá trị hàm tại \( x_0 \):
\[
f\left(-\frac{5}{2}\right) = -\left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{2}\right) + 6
\]
\[
= -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 6
\]
\[
= -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} + \frac{24}{4} = \frac{49}{4}
\]

Vậy đỉnh của parabol là \( A\left(-\frac{5}{2}, \frac{49}{4}\right) \).

### 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến

- Hàm số \( f(x) \) là bậc hai với hệ số \( a < 0 \), điều này có nghĩa là parabol mở xuống.
- Từ đỉnh \( A \), hàm số có tính chất:
- Tăng (đồng biến) trên khoảng \( (-\infty, -\frac{5}{2}) \)
- Giảm (ngịch biến) trên khoảng \( (-\frac{5}{2}, +\infty) \)

### 3. Tính dấu của hàm số

Để xét dấu của \( f(x) \), ta sẽ giải bất phương trình \( f(x) = 0 \):
\[
-x^2 - 5x + 6 = 0
\]
Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6}}{2 \cdot (-1)}
\]
\[
= \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{-2} = \frac{5 \pm 7}{-2}
\]
Nghiệm là:
\[
x_1 = \frac{12}{-2} = -6, \quad x_2 = \frac{-2}{-2} = 1
\]

### 4. Xét dấu của hàm \( f(x) \):
- Ta có ba khoảng để xét dấu: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 1) \), và \( (1, +\infty) \).
- Chọn một điểm đại diện trong mỗi khoảng:
- Với \( x < -6 \), chọn \( x = -7 \):
\[
f(-7) = -(-7)^2 - 5(-7) + 6 = -49 + 35 + 6 = -8 \quad (dấu âm)
\]
- Với \( -6 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \):
\[
f(0) = 6 \quad (dấu dương)
\]
- Với \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \):
\[
f(2) = -(2^2) - 5(2) + 6 = -4 - 10 + 6 = -8 \quad (dấu âm)
\]

### Kết luận:
- Hàm số \( f(x) \) dương trên khoảng \( (-6, 1) \) và âm trên các khoảng còn lại:
- \( f(x) < 0 \) khi \( x \in (-\infty, -6) \cup (1, +\infty) \)
- \( f(x) = 0 \) tại \( x = -6 \) và \( x = 1 \)
- \( f(x) > 0 \) khi \( x \in (-6, 1) \)

### Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số là parabol mở xuống với đỉnh tại \( A(-2.5, \frac{49}{4}) \) và cắt trục hoành tại hai điểm \( (-6, 0) \) và \( (1, 0) \). Vẽ đồ thị với các tọa độ trên sẽ cho một hình ảnh rõ nét hơn về hàm số này.