Tính giá trị của biểu thức P

Chúng ta có các số thực \( a, b, c \) sao cho:

\[
a + b + c = 6
\]

và

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 12.
\]

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức

\[
P = (a - 3)^{2024} + (b - 3)^{2024} + (c - 3)^{2024}.
\]

Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho.

### Bước 1: Biểu diễn \( a, b, c \) theo trung bình

Khi biết rằng \( a + b + c = 6 \), ta có thể viết lại các biến \( a, b, c \) như sau:

\[
x = a - 3, \quad y = b - 3, \quad z = c - 3.
\]

Ta có:

\[
x + y + z = (a - 3) + (b - 3) + (c - 3) = (a + b + c) - 9 = 6 - 9 = -3.
\]

### Bước 2: Tính tổng bình phương

Thay \( a = x + 3 \), \( b = y + 3 \), \( c = z + 3 \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 = (x + 3)^2 + (y + 3)^2 + (z + 3)^2.
\]

Khai triển biểu thức trên:

\[
= (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) + (z^2 + 6z + 9) = x^2 + y^2 + z^2 + 6(x + y + z) + 27.
\]

Thay \( x + y + z = -3 \):

\[
= x^2 + y^2 + z^2 + 6(-3) + 27 = x^2 + y^2 + z^2 - 18 + 27 = x^2 + y^2 + z^2 + 9.
\]

Biểu thức trên bằng 12 (theo điều kiện đã cho):

\[
x^2 + y^2 + z^2 + 9 = 12 \implies x^2 + y^2 + z^2 = 3.
\]

### Bước 3: Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2).
\]

Thay các giá trị vào:

\[
(-3)^2 \leq 3 \cdot 3 \implies 9 \leq 9.
\]

Cả hai vế bằng nhau, điều này xảy ra khi \( x = y = z \).

### Bước 4: Tính giá trị cụ thể của \( x, y, z \)

Khi \( x = y = z \):

\[
x + y + z = -3 \implies 3x = -3 \implies x = -1.
\]

Vậy:

\[
a = -1 + 3 = 2, \quad b = -1 + 3 = 2, \quad c = -1 + 3 = 2.
\]

### Bước 5: Tính giá trị của \( P \)

Thay các giá trị \( a, b, c \) vào \( P \):

\[
P = (a - 3)^{2024} + (b - 3)^{2024} + (c - 3)^{2024} = (-1)^{2024} + (-1)^{2024} + (-1)^{2024}.
\]

Vì \( 2024 \) là số chẵn, nên:

\[
P = 1 + 1 + 1 = 3.
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( P \) là:

\[
\boxed{3}.
\]