Chúng ta có các số thực
a,b,c sao cho:
a+b+c=6
và
a2+b2+c2=12.
Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức
P=(a−3)2024+(b−3)2024+(c−3)2024.
Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho.
### Bước 1: Biểu diễn
a,b,c theo trung bình
Khi biết rằng
a+b+c=6, ta có thể viết lại các biến
a,b,c như sau:
x=a−3,y=b−3,z=c−3.
Ta có:
x+y+z=(a−3)+(b−3)+(c−3)=(a+b+c)−9=6−9=−3.
### Bước 2: Tính tổng bình phương
Thay
a=x+3,
b=y+3,
c=z+3:
a2+b2+c2=(x+3)2+(y+3)2+(z+3)2.
Khai triển biểu thức trên:
=(x2+6x+9)+(y2+6y+9)+(z2+6z+9)=x2+y2+z2+6(x+y+z)+27.
Thay
x+y+z=−3:
=x2+y2+z2+6(−3)+27=x2+y2+z2−18+27=x2+y2+z2+9.
Biểu thức trên bằng 12 (theo điều kiện đã cho):
x2+y2+z2+9=12⟹x2+y2+z2=3.
### Bước 3: Sử dụng định lý Cauchy-Schwarz
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(x+y+z)2≤3(x2+y2+z2).
Thay các giá trị vào:
(−3)2≤3⋅3⟹9≤9.
Cả hai vế bằng nhau, điều này xảy ra khi
x=y=z.
### Bước 4: Tính giá trị cụ thể của
x,y,zKhi
x=y=z:
x+y+z=−3⟹3x=−3⟹x=−1.
Vậy:
a=−1+3=2,b=−1+3=2,c=−1+3=2.
### Bước 5: Tính giá trị của
PThay các giá trị
a,b,c vào
P:
P=(a−3)2024+(b−3)2024+(c−3)2024=(−1)2024+(−1)2024+(−1)2024.
Vì
2024 là số chẵn, nên:
P=1+1+1=3.
### Kết luận
Giá trị của biểu thức
P là:
3.