Chúng ta có tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với điểm \( D \) trên cạnh \( BC \) và \( DM \parallel AC \) (với \( M \) thuộc \( AB \)), \( DN \parallel AB \) (với \( N \) thuộc \( AC \)).

Bây giờ ta sẽ phân tích từng yêu cầu.

### a. Chứng minh tứ giác \( AMDN \) là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \( AMDN \) là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường song song.

Theo giả thiết:
- \( DM \parallel AC \)
- \( DN \parallel AB \)

Vì \( DM \parallel AC \) nên góc \( ADM = \angle DAC \) (góc đồng vị).
Tương tự, vì \( DN \parallel AB \) nên góc \( AND = \angle ADB \).

Như vậy, ta có cặp góc \( ADM \) và \( AND \) đối diện nhau trong tứ giác \( AMDN \) là bằng nhau.
Tương tự, \( AM \) đồng thời là cạnh và đối xứng với \( DN \) (vì hai cặp góc đối diện cùng với hai đoạn thẳng).
Do đó, tứ giác \( AMDN \) có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên \( AMDN \) là hình bình hành.

### b. Tam giác \( BDM \) là tam giác gì?

Trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với \( D \) trên \( BC \) và với điều kiện \( DM \parallel AC \) và \( DN \parallel AB \), chúng ta có:
- \( DM \) song song với cạnh \( AC \) và cắt đoạn \( BD \).
- Tương tự, ta cũng có \( DN \parallel AB \), điều này tạo ra mối quan hệ tỷ lệ giữa các đoạn.

Tam giác \( BDM \) sẽ có các góc tương ứng với góc \( ACB \) và góc \( ADB \), do đó, tam giác \( BDM \) sẽ là tam giác vuông, cụ thể là
- nếu \( D \) nằm bên trong \( BC \).

### c. So sánh \( DM + DN \) với \( AB \)

Do \( DM \parallel AC \) và \( DN \parallel AB \), theo định lý Thales, ta có:

\[
\frac{DM}{AC} = \frac{BD}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{DN}{AB} = \frac{AD}{AC}
\]

Vì \( DM + DN \) là chiều dài của hai đoạn thẳng tương ứng trong tam giác cân, nên \( DM + DN < AB \) .

Vậy, \\( DM + DN < AB \\) là kết luận cuối cùng.

Hy vọng các chi tiết này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này!