Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3

Để giải bài toán này, ta có điều kiện \( ab + bc + ca = 3 \) và cần tính giá trị của biểu thức

\[
R = \frac{1}{3 + a^2} + \frac{1}{3 + b^2} + \frac{1}{3 + c^2} + \frac{2(a + b + c)}{3(a + b + c) - abc}
\]

Đầu tiên, từ điều kiện \( ab + bc + ca = 3 \), ta có thể sử dụng một vài phân tích đại số.

### Bước 1: Phân tích điều kiện

Ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc một vài bất đẳng thức khác để rút ra thông tin về \( a, b, c \).

### Bước 2: Khám phá giá trị tối ưu

Ta có thể thử nghiệm các cặp giá trị cho \( a, b, c \) sao cho \( ab + ac + bc = 3 \). Một ví dụ là \( a = b = c = 1 \).

Với \( a = b = c = 1 \):

\[
ab + ac + bc = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3
\]

Bây giờ thay vào biểu thức \( R \):

\[
R = \frac{1}{3 + 1^2} + \frac{1}{3 + 1^2} + \frac{1}{3 + 1^2} + \frac{2(1 + 1 + 1)}{3(1 + 1 + 1) - 1 \cdot 1 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{3 + 1} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3 - 1}
\]

\[
= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{6}{9 - 1}
\]

\[
= \frac{3}{4} + \frac{6}{8} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]

### Kết luận

Giá trị của \( R \) khi \( a = b = c = 1 \) là \( R = \frac{3}{2} \).

Tuy nhiên, cần kiểm tra thêm các giá trị khác để khẳng định tính tối ưu và các giá trị khác có thể đạt được.