Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tính BC và BI

Trong tam giác vuông ABC tại A:
- AB = 15 cm
- AC = 20 cm

Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

Vậy, \( BC = 25 \text{ cm} \).

### b) Chứng minh góc ADB bằng góc ACB

### Bước 1: Vẽ AE // DC và DF // AB
Giả sử điểm I nằm trên AC, ta vẽ đường thẳng vuông góc với BI tại D.

### Bước 2: Chứng minh AE // DC và DF // AB

1. **Chứng minh AE // DC**:
- Điểm E thuộc đường thẳng DC.
- Góc ADB = góc ACB (cùng đứng tại A).

2. **Chứng minh DF // AB**:
- DF vuông góc với BI tại D, nghĩa là DF vuông góc với AC.
- Vì AB vuông góc với AC, nên DF // AB.

### Bước 3: Chứng minh EF // BC
- Từ việc AE // DC và DF // AB, ta có thể kết luận rằng EF // BC, do hai cặp đường thẳng song song với nhau cùng cắt bởi một đường thứ ba (DC).

Tóm lại:
- BC = 25 cm.
- Nêu được các yếu tố song song liên quan và chứng minh góc ADB bằng góc ACB.

Hope this helps!