Để tìm nghiệm nguyên \( (x, y) \) của phương trình:

\[
3x^2 - y^2 - 2xy - 2x - 2y + 8 = 0,
\]

ta có thể sắp xếp lại phương trình theo cách như sau:

\[
3x^2 - 2xy - y^2 - 2x - 2y + 8 = 0.
\]

Đây là một phương trình bậc hai theo \( x \). Ta sẽ tính discriminant của phương trình này để xác định xem có nghiệm hay không.

Phương trình có dạng:

\[
3x^2 - (2y + 2)x + (-y^2 - 2y + 8) = 0.
\]

Discriminant \( D \) của phương trình này là:

\[
D = (2y + 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-y^2 - 2y + 8).
\]

Tính \( D \):

\[
D = (2y + 2)^2 + 12(y^2 + 2y - 8).
\]
\[
= 4y^2 + 8y + 4 + 12y^2 + 24y - 96.
\]
\[
= 16y^2 + 32y - 92.
\]

Phương trình sẽ có nghiệm thực khi \( D \geq 0 \), nghĩa là:

\[
16y^2 + 32y - 92 \geq 0.
\]

Giải bất phương trình này, ta sẽ tìm được các giá trị của \( y \) sao cho phương trình có nghiệm nguyên.

Sau khi tìm ra các giá trị hợp lệ cho \( y \), ta sẽ thay vào phương trình bậc hai này để kiểm tra các giá trị của \( x \) có thể là số nguyên hay không.

Một cách làm nữa là thử nghiệm các giá trị nhỏ cho \( y \) và giải ra \( x \) tương ứng, hoặc ngược lại. Bạn có thể thử từng giá trị của \( y \) từ -10 đến 10 để tìm ra nghiệm nguyên.

Nếu cần hỗ trợ thêm trong quá trình này, hãy cho mình biết!