Để tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện \(a^2 + b^2 = 10\) cho hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x - y = m - 2 \\
x + 2y = 3m + 4
\end{cases}
\]

1. **Giải hệ phương trình**:

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta có:
\[
x = y + m - 2
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
(y + m - 2) + 2y = 3m + 4 \\
3y + m - 2 = 3m + 4 \\
3y = 2m + 6 \\
y = \frac{2m + 6}{3}
\]

Thay giá trị \(y\) vào \(x\):
\[
x = \frac{2m + 6}{3} + m - 2 \\
x = \frac{2m + 6 + 3m - 6}{3} \\
x = \frac{5m}{3}
\]

Vậy ta có:
\[
a = x = \frac{5m}{3}, \quad b = y = \frac{2m + 6}{3}
\]

2. **Tính \(a^2 + b^2\)**:
\[
a^2 + b^2 = \left(\frac{5m}{3}\right)^2 + \left(\frac{2m + 6}{3}\right)^2
\]

Tính từng phần:
\[
\left(\frac{5m}{3}\right)^2 = \frac{25m^2}{9}
\]
\[
\left(\frac{2m + 6}{3}\right)^2 = \frac{(2m + 6)^2}{9} = \frac{4m^2 + 24m + 36}{9}
\]

Cộng lại:
\[
a^2 + b^2 = \frac{25m^2}{9} + \frac{4m^2 + 24m + 36}{9} = \frac{29m^2 + 24m + 36}{9}
\]

3. **Thiết lập phương trình**:
Theo yêu cầu, ta có:
\[
\frac{29m^2 + 24m + 36}{9} = 10
\]

Giải phương trình này:
\[
29m^2 + 24m + 36 = 90 \\
29m^2 + 24m - 54 = 0
\]

4. **Giải phương trình bậc 2**:
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-54)}}{2 \cdot 29}
\]
\[
= \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 6264}}{58} = \frac{-24 \pm \sqrt{6840}}{58}
\]

Tính \(\sqrt{6840}\) và thay vào công thức. Từ đó, tìm ra nghiệm \(m\).

Toàn bộ kết quả tìm kiếm sẽ cho bạn các giá trị cần thiết cho \(m\).