Tìm số tự nhiên x biết 7 + 10 + 13 + ... + x = 420

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm số tự nhiên \( x \) sao cho tổng các số trong dãy số 7, 10, 13, ..., x bằng 420.

Dãy số này là một dãy số số học với:
- Số đầu tiên \( a = 7 \)
- Công sai \( d = 3 \)

Tổng của dãy số số học có thể được tính bằng công thức:
\[
S_n = \frac{n}{2} (a + l)
\]
Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của n số
- \( n \) là số lượng số hạng
- \( a \) là số hạng đầu
- \( l \) là số hạng cuối

Số hạng cuối \( l \) của dãy số này có thể được viết dưới dạng:
\[
l = a + (n-1) \cdot d = 7 + (n-1) \cdot 3
\]
Từ đó, chúng ta có thể thay thế \( l \) trong công thức tổng:
\[
S_n = \frac{n}{2} (7 + (7 + (n-1) \cdot 3)) = \frac{n}{2} (14 + (n-1) \cdot 3)
\]

Và ta biết rằng \( S_n = 420 \), vậy ta có:
\[
\frac{n}{2} (14 + (n-1) \cdot 3) = 420
\]
Giải phương trình trên:
\[
n(14 + (n-1) \cdot 3) = 840
\]
\[
n(14 + 3n - 3) = 840
\]
\[
n(3n + 11) = 840
\]
\[
3n^2 + 11n - 840 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 3, b = 11, c = -840 \):
\[
b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-840) = 121 + 10080 = 10201
\]
\[
\sqrt{10201} = 101
\]
Vậy:
\[
n = \frac{-11 \pm 101}{6}
\]
Có hai nghiệm:
1. \( n = \frac{90}{6} = 15 \)
2. \( n = \frac{-112}{6} \) (không hợp lệ vì n phải là số tự nhiên)

Vậy \( n = 15 \).

Bây giờ ta tính giá trị của \( x \):
\[
x = 7 + (n-1) \cdot 3 = 7 + 14 = 21
\]

Vậy số tự nhiên \( x \) cần tìm là:
\[
\boxed{21}
\]