Ta có parabol \( P: y = -2x^2 \) và đường thẳng \( y = m \). Để tìm các điểm giao nhau của đường thẳng \( y = m \) và parabol \( P \), ta thiết lập phương trình:

\[
-2x^2 = m
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
2x^2 + m = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = -m
\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \( -m \geq 0 \) hay \( m \leq 0 \).

Gọi các nghiệm của phương trình trên là \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta có:

\[
x_1^2 = -\frac{m}{2} \quad \text{và} \quad x_2^2 = -\frac{m}{2}
\]

Vì vậy, \( x_1 = \sqrt{-\frac{m}{2}} \) và \( x_2 = -\sqrt{-\frac{m}{2}} \). Các tọa độ giao điểm là:

\[
A\left(\sqrt{-\frac{m}{2}}, m\right), \quad B\left(-\sqrt{-\frac{m}{2}}, m\right)
\]

Tiếp theo, ta tính diện tích tam giác \( S_{CAB} \):

Công thức tính diện tích tam giác theo ba điểm có tọa độ \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \):

\[
S_{CAB} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta:

\[
A\left(\sqrt{-\frac{m}{2}}, m\right), B\left(-\sqrt{-\frac{m}{2}}, m\right), C(4, 0)
\]

Diện tích \( S_{CAB} \) sẽ là:

\[
S_{CAB} = \frac{1}{2} \left| \sqrt{-\frac{m}{2}}(m - 0) + (-\sqrt{-\frac{m}{2}})(0 - m) + 4(m - m) \right|
\]

Rút gọn, ta có:

\[
S_{CAB} = \frac{1}{2} \left| m\sqrt{-\frac{m}{2}} + m\sqrt{-\frac{m}{2}} \right| = \frac{1}{2} \left| 2m\sqrt{-\frac{m}{2}} \right| = |m|\sqrt{-\frac{m}{2}}
\]

Diện tích hình chữ nhật \( S_{OAB} \) giữa trục hoành \( O \) và hai điểm \( A, B \) bằng chiều dài \( AB \) nhân chiều cao \( m \).

Chiều dài \( AB \) bằng:

\[
AB = 2\sqrt{-\frac{m}{2}} \quad \Rightarrow \quad S_{OAB} = |AB| \cdot |m| = 2\sqrt{-\frac{m}{2}} |m|
\]

Biểu thức diện tích \( S_{OAB} \):

\[
S_{OAB} = 2\sqrt{-\frac{m}{2}} |m|
\]

Theo đề bài, ta có điều kiện:

\[
S_{CAB} = 3 S_{OAB}
\]

Thay vào:

\[
|m| \sqrt{-\frac{m}{2}} = 3 \cdot 2 \sqrt{-\frac{m}{2}} |m|
\]

Giả sử \( |m| \neq 0 \) (bởi vì \( m = 0 \) không thỏa mãn), ta chia cả hai bên cho \( \sqrt{-\frac{m}{2}} |m| \) dẫn đến:

\[
1 = 6,
\]

Điều này không thể xảy ra. Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra điều kiện của mình là đúng và không có giá trị nào cho \( m = 0 \) thỏa mãn.

Ta có thể xem từ điều kiện đề bài nếu tìm ra giá trị thực nghiệm cho \( m \).

Vì vậy, bạn có thể khảo sát thêm hoặc thử các giá trị cho \( m \) không khả thi trong điều kiện sơ khởi.

Theo đó không có giá trị nào cho \( m \) phù hợp với tất cả các điều kiện của bài toán.