Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
x^3 - y^3 = 7
\]

Ta có thể viết lại phương trình này theo dạng tích:

\[
(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7
\]

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số nguyên \( (x - y) \) và \( (x^2 + xy + y^2) \) sao cho tích của chúng bằng 7. Các ước số của 7 là \( \pm 1 \) và \( \pm 7 \).

### Trường hợp 1: \( x - y = 1 \)

Khi \( x - y = 1 \):
\[
x = y + 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
1 \cdot ((y + 1)^2 + (y + 1)y + y^2) = 7
\]
\[
(y + 1)^2 + (y + 1)y + y^2 = 7
\]
\[
(y^2 + 2y + 1) + (y^2 + y) + y^2 = 7
\]
\[
3y^2 + 3y + 1 = 7
\]
\[
3y^2 + 3y - 6 = 0
\]
\[
y^2 + y - 2 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
(y - 1)(y + 2) = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ hoặc } y = -2
\]
Khi \( y = 1 \), thì:
\[
x = 1 + 1 = 2 \Rightarrow (x, y) = (2, 1)
\]
Khi \( y = -2 \), thì:
\[
x = -2 + 1 = -1 \Rightarrow (x, y) = (-1, -2)
\]

### Trường hợp 2: \( x - y = -1 \)

Khi \( x - y = -1 \):
\[
x = y - 1
\]
Thay vào phương trình:
\[
-1 \cdot ((y - 1)^2 + (y - 1)y + y^2) = 7
\]
\[
-((y - 1)^2 + (y - 1)y + y^2) = 7
\]
\[
-(y^2 - 2y + 1 + y^2 - y + y^2) = 7
\]
\[
-3y^2 + 3y - 1 = 7
\]
\[
-3y^2 + 3y - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3y^2 - 3y + 8 = 0
\]
Phương trình này không có nghiệm thực.

### Trường hợp 3: \( x - y = 7 \)

Khi \( x - y = 7 \):
\[
x = y + 7
\]
Thay vào phương trình:
\[
7 \cdot ((y + 7)^2 + (y + 7)y + y^2) = 7
\]
\[
(y + 7)^2 + (y + 7)y + y^2 = 1
\]

Tương tự như trên, sẽ làm cho phương trình này trở nên phức tạp hơn.

### Trường hợp 4: \( x - y = -7 \)

Khi \( x - y = -7 \):
\[
x = y - 7
\]
Thay vào phương trình:
\[
-7 \cdot ((y - 7)^2 + (y - 7)y + y^2) = 7
\]
Tương tự như trên.

### Kết quả

Sau khi thử tất cả các trường hợp có thể, ta tìm được các cặp \( (x, y) \) duy nhất là:

\[
(2, 1) \quad \text{ và } \quad (-1, -2)
\]

Vậy các số nguyên \( x, y \) thỏa mãn phương trình là:
\[
\boxed{(2, 1) \text{ và } (-1, -2)}
\]