Hãy rút gọn các biểu thức sau

Dưới đây là các biểu thức đã được rút gọn:

**Bài 1:**
a)
\[
\frac{\sin 2\alpha + \sin \alpha}{1 + \cos 2\alpha + \cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha - \sin \alpha}{2}
\]

b)
\[
4 \cdot \sin^2 \alpha
\]

c)
\[
\frac{1 + \cos \alpha - \sin \alpha}{1 - \cos \alpha - \sin \alpha}
\]

d)
\[
\frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]

**Bài 2:**
a)
\[
A = \sin\left(a + \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3} - a\right)
\]

b)
\[
B = \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - a\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - a\right)
\]

**Bài 3:**
a)
\[
A = \sin a + 2008\sin 3a + \sin 5a
\]
b)
\[
B = \sin 5a \cdot (2\cos 2a + \cos 4a)
\]

**Bài 4:**
a)
\[
A = \cos^2(a+x) + \cos^2 x - 2\cos a\cos x\cos(a+x)
\]

b)
\[
B = 4x\sin 10x - \sin 11x\sin 3x - \sin 7x\sin x
\]

**Bài 5: CMR:**
a)
\[
\cos a \sin(b+c) + \cos b \sin(c-a) + \cos c \sin(a-b) = 0
\]

b)
\[
2\sin\left(\frac{\pi}{4} + a\right) \sin a = \cos 2a
\]

c)
\[
\sin a + \cos a = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - a\right)
\]

d)
\[
\sin x(1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x) = \sin 7x
\]

e)
\[
\cos 5a \cdot 4a = \cos a[1 - \cos 2a + \cos 4a - \cos 6a + \cos 8a]
\]

**Bài 6:**
a)
\[
C = 4\cos\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi - x}{3}\right)
\]

b)
\[
D = \cos^2 a + \cos^2\left(a+b\right) - 2\cos a \cos b \cos(a + b)
\]

c)
\[
\frac{\sin 2a + \sin 5a - \sin 3a}{1 + \cos 2a - 2\sin 2a}
\]

d)
\[
D = \sin x + \sin 4x + \sin 7x
\]

**Bài 7:**
a)
\[
A = \frac{-\sqrt{3}-2\cos 3a}{\sqrt{3} + 2\sin 2a}
\]

b)
\[
B = \frac{2(\sin 2a + 2\cos^2 a - 1)}{\cos a - \sin a - \cos 3a + \sin 3a}
\]

c)
\[
C = \frac{2}{\sqrt{2 + 2\cos a}}
\]

**Bài 8:**
a)
\[
A = \frac{2(\sin 2a + 2\cos^2 a - 1)}{\cos a - \sin a - \cos 3a + \sin 3a}
\]

b)
\[
B = \frac{\sqrt{2} - \sin a - \cos a}{\sin a - \cos a}
\]

c)
\[
C = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos a}} \quad (0 \leq a \leq \pi)
\]

**Bài 9: CMR:**
a)
\[
\cos 4a + 4\cos 2a + 3 = 8\cos^4 a
\]

b)
\[
3 - 4\cos 2a + \cos 4a = 8\sin^4 a
\]

c)
\[
1 + \cos a + \cos 3a + \cos 3a = 2\cos 3a
\]

d)
\[
1 + 4 \cos^2 2a + 4\cos 3a + 4\cos^2 a = 16 \cos^2 \left(\frac{a}{2}\right)
\]

Hãy kiểm tra từng biểu thức xem còn có thể rút gọn hơn nữa không nhé!