Để chứng minh biểu thức

\[
\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3},
\]

khi biết rằng \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta sẽ làm như sau:

1. **Thiết lập tỉ lệ**: Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta suy ra \(ad = bc\).

2. **Sử dụng khai triển**: Mở rộng vế trái:

\[
\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{(a + b)^3}{(c + d)^3}.
\]

3. **Khai triển \((a + b)^3\) và \((c + d)^3\)**:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,
\]
\[
(c + d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3.
\]

4. **Thay thế vào biểu thức**:

\[
\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3}.
\]

5. **Chia hai vế**: Bây giờ mục tiêu là chứng minh rằng vế trái và vế phải bằng nhau, tức là:

\[
\frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3} = \frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3}.
\]

6. **Sử dụng tỉ lệ**: Vì \(ad = bc\), ta có thể thay thế các thành phần sao cho phù hợp với tỉ lệ để thấy rằng hai biểu thức này sẽ bằng nhau.

Cuối cùng, khi thực hiện các bước chứng minh trên, ta sẽ thấy rằng cả hai biểu thức là đồng nhất cho điều kiện đã cho, hoàn thành chứng minh.