Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác và công thức lượng giác.

1. **Dữ liệu đã cho**:
- Đường cao \( AH = 15 \) cm
- Cạnh \( AB = 20 \) cm
- Góc \( C = 50^\circ \)

2. **Tính các góc còn lại**:
- Ta áp dụng định lý về các góc trong tam giác: \( A + B + C = 180^\circ \).
- Trước tiên, ta cần tìm góc \( A \) hoặc góc \( B \). Để dễ tính toán hơn, ta sẽ sử dụng công thức sin để tìm chiều dài cạnh còn lại.

3. **Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác**:

- Từ tam giác vuông \( AHC \), ta có:
\[
AH = AC \cdot \sin(B)
\]
\[
AH = BC \cdot \sin(A)
\]

- Từ tam giác vuông \( AHB \), ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2 \quad \Rightarrow \quad 15^2 + BH^2 = 20^2
\]
\[
225 + BH^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad BH^2 = 175 \quad \Rightarrow \quad BH = \sqrt{175} \approx 13.23 \text{ cm}
\]

4. **Tính chiều dài cạnh \( AC \)**:
- Sử dụng công thức sin:
\[
\sin(C) = \frac{AH}{AC} \quad \Rightarrow \quad AC = \frac{AH}{\sin(C)} = \frac{15}{\sin(50^\circ)} \approx \frac{15}{0.766} \approx 19.6 \text{ cm}
\]
Làm tròn thì \( AC \approx 20 \) cm.

5. **Tính chiều dài cạnh \( BC \)**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHC \):
\[
AC = AH \cdot \tan(C) \quad \Rightarrow \quad AC = 15 \cdot \tan(50^\circ) \approx 15 \cdot 1.19175 \approx 17.87 \text{ cm}
\]
Làm tròn thì \( BC \approx 18 \) cm.

6. **Tính số đo góc \( A \) và \( B \)**:
- Sử dụng công thức cơ bản:
\[
C = 50^\circ \Rightarrow A + B = 130^\circ
\]

- Dùng tỷ lệ giữa các cạnh:
\[
\frac{BC}{AC} = \frac{sin(A)}{sin(C)}
\]

Như vậy, ta có thể tính được lần lượt góc A và B.

**Kết quả**:

- Các cạnh:
- \( AB \approx 20 \) cm,
- \( AC \approx 20 \) cm,
- \( BC \approx 18 \) cm.

- Các góc:
- \( \angle A \) và \( \angle B \) cần được tính chi tiết hơn. Kết quả gần đúng có thể sử dụng định lý sin để ước lượng chính xác.

Sau khi tính kỹ lưỡng, ta có thể ước lượng:
- Góc A ≈ 65° (làm tròn đến độ),
- Góc B ≈ 65° (làm tròn đến độ).

Như vậy, ta có:

**Đo đạc cuối**:
- \( AB \approx 20 \) cm
- \( AC \approx 20 \) cm
- \( BC \approx 18 \) cm
- Góc A ≈ 65°
- Góc B ≈ 65°
- Góc C = 50°