Để chứng minh đẳng thức

\[
\sin^6 x - \cos^6 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - \sin^2 x \cos^2 x),
\]

chúng ta sẽ sử dụng một số định lý đại số cũng như các hằng đẳng thức.

### Bước 1: Sử dụng hằng đẳng thức khai triển
Ta biết rằng:

\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Áp dụng hằng đẳng thức này vào biểu thức bên trái, ta có:

\[
\sin^6 x - \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 - (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^4 x + \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x).
\]

### Bước 2: Khai triển biểu thức thứ hai

Giờ đây, chúng ta cần khai triển và tham khảo biểu thức bên phải:

\[
(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - \sin^2 x \cos^2 x).
\]

### Bước 3: Khai triển biểu thức bên phải

\[
(\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - \sin^2 x \cos^2 x) = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - \sin^2 x \cos^2 x).
\]

Khai triển:

\[
= (\sin^2 x - \cos^2 x) - (\sin^2 x - \cos^2 x) \sin^2 x \cos^2 x.
\]

### Bước 4: So sánh hai biểu thức

Giờ ta cần chứng minh rằng:

\[
\sin^4 x + \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x.
\]

Biểu thức trái là:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x + \sin^2 x \cos^2 x.
\]

Ta có thể viết lại \(\sin^4 x + \cos^4 x\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:

\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x.
\]

Thay vào phương trình trên:

\[
1 - 2\sin^2 x \cos^2 x + \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng

\[
\sin^6 x - \cos^6 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(1 - \sin^2 x \cos^2 x).
\]

### Kết luận

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh đúng.