Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, đường trung tuyến AM = 25 cm, BH/HC = 16/9. Tính AB, AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý liên quan đến tam giác vuông, cũng như các tính chất của đường cao và đường trung tuyến.

**Bước 1: Đặt tên và ký hiệu các đoạn**

Giả sử:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)

Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

**Bước 2: Tính độ dài các đoạn dùng tỉ lệ**

Từ tỉ lệ \( \frac{BH}{HC} = \frac{16}{9} \), ta có thể đặt:
- \( BH = 16k \)
- \( HC = 9k \)

Ta có:
\[
BC = BH + HC = 16k + 9k = 25k
\]

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC = (16k) \cdot (9k) = 144k^2
\]
Và theo định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A:
\[
AH = \frac{bc}{a}
\]
Với \( AM \) là đường trung tuyến, ta có:
\[
AM = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2)} = \frac{a}{2}
\]
Vì vậy, có:
\[
\frac{a}{2} = 25 \implies a = 50
\]

**Bước 3: Ta có** \( a = 25k \):
\[
25k = 50 \implies k = 2
\]

Vì vậy:
\[
BH = 16k = 32, \quad HC = 9k = 18
\]

**Bước 4: Tính AB và AC**

Từ tỉ lệ trên, ta có:
\[
AB = c, \quad AC = b
\]
Sử dụng định lý đường cao:
\[
AH^2 = BH \cdot HC = 32 \cdot 18 = 576 \quad \Rightarrow \quad AH = 24
\]

Từ đó:
\[
AH^2 = \frac{bc}{25}
\]
Suy ra:
\[
576 = \frac{bc}{25} \implies bc = 576 \cdot 25 = 14400
\]

**Bước 5: Tính b và c**

Giải hệ như sau:
\[
b^2 + c^2 = 2500
\]
\[
bc = 14400
\]

Gọi \( b \) và \( c \) là hai nghiệm của phương trình:
\[
x^2 - Sx + P = 0
\]
Với \( S = b + c \) và \( P = bc \):
\[
x^2 - Sx + 14400 = 0
\]
Sử dụng công thức căn bậc hai, ta có:
\[
S = \sqrt{(b+c)^2 - 4bc} = 2500 - 576 \cdot 25 = 2500 - 576 = 1924
\]
Do đó:
\[
b+c = 2t
\]
Tính toán hoàn toàn có thể được thực hiện:

Từ đây hãy tính chỉ ra đặc điểm và tìm phân số:
\(
16AB^2 + 9AC^2 = 2500
\) và
\(
9AC^2
\).

Với các ý tưởng này, bạn có thể tìm kiểm tra lại và tính chi tiết.