Để xác định phương trình đường thẳng và giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \( d_1 \) luôn đi qua một điểm A cố định.

- Đường thẳng \( d_1 \): \( y = 4mx - (m+5) \).
- Để chứng minh, ta thay \( m \) vào phương trình và tìm một điểm A có tọa độ không phụ thuộc vào m.

**Chẳng hạn:**
- Khi \( x = 0 \), ta có:
\[
y = - (m + 5)
\]
- Điểm A cố định (0; -5) sẽ thỏa mãn cho mọi m, vì khi \( m = 0 \), \( y = -5 \).

### b) Với giá trị nào của m thì \( d_1 \) song song với \( d_2 \)?

- Đường thẳng \( d_2 \): \( y = (3m^2 + 1)x + (m^2 - 4) \).
- Điều kiện để hai đường thẳng song song là hệ số trước \( x \) của chúng phải bằng nhau:
\[
4m = 3m^2 + 1
\]
- Giải phương trình này để tìm giá trị của m.

### c) Với giá trị nào của m thì \( d_1 \) cắt \( d_2 \)? Tìm tọa độ điểm giao điểm.

- Ta cần giải hệ phương trình:
\[
4mx - (m + 5) = (3m^2 + 1)x + (m^2 - 4)
\]
- Giải hệ này sẽ cho ta giá trị của x và từ đó thay vào phương trình của \( d_1 \) hoặc \( d_2 \) để tìm y.

Bạn có thể làm từng phần một cách tỉ mỉ và đưa ra kết quả. Nếu cần trợ giúp chi tiết về từng bước giải, hãy cho tôi biết!