Để giải bài toán này, chúng ta cần hình dung cấu trúc hình học mà bài toán mô tả.

1. **C/m: TG AMON là hình thoi**:

Giả sử \( A \) và \( B \) là hai điểm của đường tròn, với \( O \) là trung tâm, \( I \) là trung điểm của \( AB \). Khi kẻ đường dây \( MN \) vuông góc với đoạn thẳng \( OA \), \( MN \) sẽ cắt \( OA \) tại một điểm nào đó \( P \).

Trong tam giác \( AOM \):
- Tia \( OM \) vuông góc với \( OA \) (bởi vì \( MN \) vuông góc với \( OA \)).
Tương tự, trong tam giác \( AON \):
- Tia \( ON \) cũng vuông góc với \( OA \).

Do đó, theo định nghĩa của hình thoi, \( AM = AN \) và \( OM = ON \). Hơn nữa, \( AM = ON \) và \( AN = OM \), kết hợp lại tạo nên đặc điểm của hình thoi.

Vậy: **hình AMON là hình thoi**.

2. **Tính AM, BM theo R**:

Vì \( O \) là trung tâm và \( AB \) là đường kính, nên \( OA = R \) và \( OB = R \). Gọi góc \( \angle OAM = \theta \).

Từ tam giác vuông \( OAM \) có:
\[
AM = OA \cdot \sin(\theta) = R \cdot \sin(\theta)
\]

Tính \( BM \):
Trong tam giác vuông \( OMB \):
\[
BM = OB \cdot \sin(\theta) = R \cdot \sin(\theta)
\]

Vậy cuối cùng:
\[
AM = BM = R \cdot \sin(\theta)
\]

3. **C/m: BMN là tam giác đều**:

Vì \( MN \) vuông góc với \( OA \), và \( AM = AN \), ta có:
- Cạnh \( BM = AM \)
- Cạnh \( BN = AN = AM \)

Do đó, ba cạnh \( BM \), \( MN \), và \( BN \) đều bằng nhau, chúng bằng \( AM \). Vì vậy:
Tam giác \( BMN \) là tam giác đều.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần trong bài toán:
- a) TG AMON là hình thoi.
- b) \( AM = BM = R \cdot \sin(\theta) \).
- c) Tam giác \( BMN \) là tam giác đều.

Hy vọng giúp ích cho bạn! Nếu cần thêm thông tin, hãy cho mình biết!