Rất vui được giúp bạn! Ta sẽ phân tích bài toán theo từng phần yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng AMON là hình thoi

1. **Xác định các điểm**:
- \( A \) và \( B \) là hai đầu mút của đường kính, do đó \( AB = 2R \).
- \( I \) là trung điểm của \( AB \), suy ra \( AI = IB = R \).
- Dây MN vuông góc với OA tại I.

2. **Tính độ dài đoạn AM và ON**:
- Ta biết rằng \( MN \) vuông góc với \( OA \) tại \( I \), suy ra \( AI \perp IM \) và \( AI \perp IN \).
- Do đó, các đoạn \( AM \) và \( ON \) có độ dài bằng nhau.

3. **Tính độ dài đoạn AN và MO**:
- Bởi vì \( I \) là trung điểm của \( AB \) nên \( IA = IB \).
- Theo định nghĩa hình thoi thì hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó \( AM = ON \) và \( AN = MO \).

Khi đó, ta có thể kết luận rằng \( AMON \) là hình thoi.

### b) Tính \( AM \) và \( BM \) theo \( R \)

1. Vì \( MN \perp OA \), tam giác \( AIM \) vuông ở \( I \).
2. Theo định nghĩa của đường tròn, ta có:
\[
OM = R \quad (OM là bán kính)
\]
3. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông \( AIM \):
\[
AM = \sqrt{OA^2 - AI^2} = \sqrt{R^2 - R^2} = R
\]
4. Đối với đoạn \( BM \):
- Bởi vì \( BM = AB - AM = 2R - AM = 2R - R = R \).

Vậy:
\[
AM = BM = R
\]

### c) Chứng minh rằng \( BMN \) là tam giác đều

1. Vì \( BM = AM = R \) và \( MN \) vuông góc với \( OA \), suy ra \( BM = MN = R \) (do tính chất của hình thoi).
2. Vậy ta có ba cạnh \( BM, MN, BN \) đều bằng \( R\).

Do đó, ta chứng minh được rằng \( BMN \) là tam giác đều.

Hy vọng những giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán! Nếu cần thêm bất kỳ thông tin hay phần nào khác, hãy cho mình biết nhé!