Để tính giá trị của biểu thức \( A \) và \( B \), cũng như tìm điều kiện để tích \( P = A \cdot B \) có giá trị nguyên, ta thực hiện từng bước sau:

### Bước 1: Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \)

\[ A = \frac{x}{\sqrt{x+1}} \]

Thay \( x = 16 \) vào biểu thức:

\[
A = \frac{16}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{16}{\sqrt{17}}
\]

### Bước 2: Chứng minh rằng \( B = \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{x + \sqrt{x + 2}}{x - 1} \)

Thay \( B \):

\[
B = \frac{1}{\sqrt{x+1}} + \frac{x + \sqrt{x + 2}}{x - 1}
\]

### Bước 3: Khám phá điều kiện \( P = A \cdot B \)

Với \( P = A \cdot B \), ta cần điều kiện để \( P \) là số nguyên. Để tìm các giá trị nguyên cho \( P \), cần khảo sát:

1. Điều kiện mà \( A \) và \( B \) là số nguyên.
2. Tìm các giá trị của \( x \) (với \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \)) sao cho \( P = A \cdot B \) là số nguyên.

### Kết luận

Sau khi tính toán và tổng hợp các giá trị của \( x \), bạn sẽ xác định được các giá trị nguyên cho \( P \). Bạn có thể sử dụng thêm các phương trình hoặc bất đẳng thức ở trên để tìm ra khoảng giá trị chính xác cho \( x \).

Nếu cần bất kỳ phần tính toán hoặc giải thích nào chi tiết hơn, vui lòng cho biết!