Để giải bài toán này, bạn cần thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh \(\triangle BAC \sim \triangle BHA\) và \(BA^2 = BH \cdot BC\)

1. **So sánh tỉ số các cạnh**:
- Vì \(\angle A\) chung, lại có \(\angle BAC = \angle BHA\) (đều là góc vuông), nên theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có \(\triangle BAC \sim \triangle BHA\).

2. **Từ đó, sử dụng định lý về tỉ số cạnh**:
- Từ tỉ lệ này, ta có:
\[
\frac{BA}{BH} = \frac{AC}{AB}
\]
- Suy ra \(BA^2 = BH \cdot BC\) bằng cách nhìn nhận và biểu diễn các cạnh tương ứng.

### b) Gọi \(M\) là đối xứng của \(A\) qua điểm \(B\)

- Chứng minh \(\triangle MBH \sim \triangle CBM\) và \(BMH = BCM\):

1. **So sánh các góc**:
- Ta có góc \(BHM\) và góc \(CBM\) là bằng nhau (cùng nằm giữa hai đường thẳng).
- Điều này dẫn đến sự tương ứng của các góc trong 2 tam giác.

2. **Từ đó kết luận tỉ lệ**:
- Nếu \(\triangle MBH \sim \triangle CBM\), ta có \(MH\) tương tự như \(BC\).

### c) (Thương điểm)

- **Gọi \(O\) là giao điểm của \(MH\) và \(AC\), \(S\) là giao điểm của \(AH\) và \(MC\), \(G\) là giao điểm của \(OS\) và \(BC\)**.

1. **Chứng minh \(\triangle AOH \sim \triangle ASC\) và \(G\) là trực tâm của \(\triangle ASC\)**:
- Sử dụng sự tương đồng giữa các tam giác để có thể kết luận các tỉ số cạnh.
- Dựa trên đặc điểm của các đường cao và góc, suy ra rằng \(G\) nhất định sẽ là trực tâm của tam giác \(ASC\).

Từng bước như vậy, bạn có thể tìm ra mối quan hệ giữa các tam giác và chứng minh theo yêu cầu của bài toán.