Để tính \( M = 2^{2010} - (2^{2009} + 2^{2008} + \ldots + 2^1 + 2^0) \), ta cần tính tổng \( 2^{2009} + 2^{2008} + \ldots + 2^1 + 2^0 \).

### a) Tính \( M \)

Tổng \( 2^{2009} + 2^{2008} + \ldots + 2^1 + 2^0 \) là một chuỗi hình học có công bội \( 2 \):

\[
S = 2^{2009} + 2^{2008} + \ldots + 2^1 + 2^0 = \frac{2^{2010} - 1}{2 - 1} = 2^{2010} - 1
\]

Vậy chúng ta có:

\[
M = 2^{2010} - (2^{2010} - 1) = 2^{2010} - 2^{2010} + 1 = 1
\]

### b) So sánh \( 2^{332} \) và \( 3^{223} \)

Để so sánh \( 2^{332} \) và \( 3^{223} \), ta có thể đưa chúng về cùng cơ số.

Lấy logarit cho cả hai:

\[
\log(2^{332}) = 332 \log 2
\]
\[
\log(3^{223}) = 223 \log 3
\]

Tính giá trị \( \frac{332 \log 2}{223 \log 3} \):

Nếu \( \frac{332}{223} \) lớn hơn \( \frac{\log 3}{\log 2} \), thì \( 2^{332} > 3^{223} \). Ngược lại, nếu nhỏ hơn thì \( 2^{332} < 3^{223} \).

### c) Tính \( M = \frac{8^{20} + 4^{20}}{4^{25} + 64^{5}} \)

Tính \( 8^{20} \) và \( 4^{20} \):

\[
8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}
\]
\[
4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}
\]
Vậy:

\[
8^{20} + 4^{20} = 2^{60} + 2^{40} = 2^{40}(2^{20} + 1)
\]

Tính \( 4^{25} \) và \( 64^5 \):

\[
4^{25} = (2^2)^{25} = 2^{50}
\]
\[
64^{5} = (2^6)^{5} = 2^{30}
\]
Vậy:

\[
4^{25} + 64^{5} = 2^{50} + 2^{30} = 2^{30}(2^{20} + 1)
\]

Do đó:

\[
M = \frac{2^{40}(2^{20} + 1)}{2^{30}(2^{20} + 1)} = \frac{2^{40}}{2^{30}} = 2^{10} = 1024
\]

### Kết Luận
- a) \( M = 1 \)
- b) So sánh \( 2^{332} \) và \( 3^{223} \) bằng cách kiểm tra logarit.
- c) \( M = 1024 \)