Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(c\) trong bài toán đã cho, ta có các điều kiện:

1. \(0 \leq a \leq b + 1\)
2. \(b \leq c + 2\)
3. \(a + b + c = 1\)

**Bước 1: Phân tích các điều kiện**

Từ điều kiện \(a + b + c = 1\), ta có thể biểu diễn \(c\) như sau:
\[
c = 1 - a - b
\]

**Bước 2: Tìm các bất đẳng thức**

Thay giá trị \(c\) vào điều kiện thứ hai:
\[
b \leq (1 - a - b) + 2 \implies b \leq 3 - a - b \implies 2b \leq 3 - a \implies b \leq \frac{3 - a}{2}
\]

**Bước 3: Kết hợp các điều kiện**

Ta có hai điều kiện về \(b\):
1. \(b \geq a - 1\) (từ điều kiện \(a \leq b + 1\))
2. \(b \leq \frac{3 - a}{2}\)

Từ hai bất đẳng thức này, ta cần giải cho \(1 - a - b \geq 0\).

**Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(c\)**

Sử dụng điều kiện \(a + b + c = 1\) để tìm giá trị nhỏ nhất của \(c\):
- Khi \(a = 0\) và \(b = 0\):
\[
c = 1 - a - b = 1 - 0 - 0 = 1
\]

Và khi \(a = 0\) và \(b\) nhận giá trị lớn nhất:
\[
c = 1 - 0 - \left(\frac{3 - 0}{2}\right) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \quad \text{(Không thỏa mãn)}
\]

**Bước 5: Xem xét các trường hợp khác**

Ta thử với các giá trị \(a\) và \(b\):
- Khi \(a = 1\) thì \(b + c = 0\), từ đó \(c\) cũng sẽ không nhỏ hơn 0.

Cuối cùng, ta nhận thấy giá trị nhỏ nhất của \(c\) thỏa mãn điều kiện tổng cộng là 0.

**Kết luận**

Giá trị nhỏ nhất của \(c\) là \(\mathbf{0}\).