Cho tam giác ABC và đường thẳng có định d. Tìm M thuộc d sao cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất

Để tìm điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( d \) sao cho các vectơ \( \vec{u} \) trong hai câu có độ dài nhỏ nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa. Cụ thể, mục tiêu là thiết lập biểu thức cho độ dài của các vectơ và sau đó tìm cực tiểu của chúng.

### a) Tìm \( M \) sao cho \( \vec{u} = 2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} \) có độ dài nhỏ nhất.

1. **Xác định các vectơ**:
- Gọi \( M \) có tọa độ \( (x_M, y_M) \).
- Các vectơ sẽ có dạng:
\[
\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M}, \quad \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M}, \quad \vec{MC} = \vec{C} - \vec{M}
\]

2. **Thiết lập biểu thức độ dài**:
- Độ dài \( \|\vec{u}\| \) được tính bằng:
\[
\|\vec{u}\| = \|2\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\|
\]

3. **Áp dụng đạo hàm để tìm cực tiểu**:
- Việc tính toán có thể dẫn đến một hệ phương trình và tìm ra tọa độ của \( M \).

### b) Tìm \( M \) sao cho \( \vec{u} = 5\vec{MA} - 2\vec{MB} - \vec{MC} \) có độ dài nhỏ nhất.

1. **Xác định các vectơ**:
- Gọi \( M \) có tọa độ như trên.

2. **Thiết lập biểu thức độ dài**:
- Độ dài cho \( \vec{u} \) được tính tương tự:
\[
\|\vec{u}\| = \|5\vec{MA} - 2\vec{MB} - \vec{MC}\|
\]

3. **Giải phương trình**:
- Một lần nữa, sử dụng đạo hàm để tìm cực tiểu cho tổ hợp này.

### Kết luận
Sau khi thiết lập biểu thức, bạn có thể cần giải một hệ phương trình để tìm được tọa độ cụ thể của điểm \( M \) trên đường thẳng \( d \). Một cách tiếp cận thêm là sử dụng hình học để trực tiếp tìm điểm gần nhất hoặc sử dụng điều kiện đủ cho cực tiểu độ dài của vectơ. Nếu bạn có thông tin về tọa độ các điểm \( A, B, C \) và phương trình đường thẳng \( d \), thì có thể tính toán cụ thể hơn.