Để tìm \(\cos \alpha\) từ các phương trình đã cho:

\[
\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{3}{20}
\]
\[
\tan \alpha - \sin \alpha = \frac{27}{20}
\]

Ta biết rằng:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]

Bây giờ, thay \(\tan \alpha\) vào các phương trình trên:

1. Từ phương trình đầu tiên:
\[
\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{20}
\]
\[
\sin \alpha \left(1 + \frac{1}{\cos \alpha}\right) = \frac{3}{20}
\]
\[
\sin \alpha \left(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha}\right) = \frac{3}{20}
\]
\[
20\sin \alpha (\cos \alpha + 1) = 3\cos \alpha
\]

2. Từ phương trình thứ hai:
\[
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha = \frac{27}{20}
\]
\[
\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right) = \frac{27}{20}
\]
\[
\sin \alpha \left(\frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}\right) = \frac{27}{20}
\]
\[
20\sin \alpha (1 - \cos \alpha) = 27\cos \alpha
\]

Bây giờ, ta có hai phương trình:

1. \(20\sin \alpha (\cos \alpha + 1) = 3\cos \alpha\)
2. \(20\sin \alpha (1 - \cos \alpha) = 27\cos \alpha\)

Giải phương trình này đồng thời để tìm \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

Từ phương trình đầu tiên, ta có thể rút ra:
\[
\sin \alpha = \frac{3\cos \alpha}{20(\cos \alpha + 1)}
\]

Thay vào phương trình thứ hai để giải.

Khi tính toán và thay thế, sẽ cho ra giá trị của \(\cos \alpha\).

Cuối cùng, hãy tìm \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) để xác định giá trị cuối cùng cho \(\cos \alpha\).

Nếu có bất cứ bước nào cần hỗ trợ chi tiết hơn, hãy cho mình biết nhé!