Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm AB . Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại F. CMR: a)F là trung điểm AC b) EF = 1/2BC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là về tính chất của hình bình hành và định lý trung bình.

Có tam giác \( ABC \) với \( E \) là trung điểm của \( AB \). Theo giả thiết, đường thẳng đi qua \( E \) và song song với \( BC \) cắt \( AC \) tại \( F \).

**Chứng minh a)** \( F \) là trung điểm của \( AC \):

1. Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \), nên có: \( AE = EB \).
2. Đường thẳng qua \( E \) song song với \( BC \), nên từ \( E \) kẻ đường thẳng này sẽ tạo ra các cặp góc đồng vị tại các điểm \( E \) và \( D \) (nơi đường thẳng cắt \( AC \)).
3. Như vậy, tam giác \( AEF \) và tam giác \( CEF \) sẽ có độ dài cạnh tương ứng là: \( AE = EB \) và do \( EF \) song song với \( BC \), nên \( AF = FC \).
4. Thật vậy, vì \( EF \parallel BC \) và cùng nằm trên cùng một mặt phẳng với các điểm \( A, B, C \), ta có \( \frac{AF}{FC} = \frac{AE}{EB} = 1 \).
5. Do đó, \( AF = FC \) cho thấy rằng \( F \) là trung điểm của \( AC \).

Vậy ta đã chứng minh được \( F \) là trung điểm của \( AC \).

**Chứng minh b)** \( EF = \frac{1}{2}BC \):

1. Từ \( F \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( AF = FC \) và \( EF \parallel BC \).
2. Theo đặc điểm của hình bình hành, ta có: \( EF \) và \( BC \) là hai đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng.
3. Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \) và \( F \) là trung điểm của \( AC \), thì tính chất của các đoạn thẳng song song cho ta biết rằng tỷ lệ phân chia đoạn thẳng sẽ cho ra \( EF \) bằng một nửa chiều dài \( BC \).
4. Cụ thể, ta có:
\[
\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} \Rightarrow EF = \frac{1}{2} BC.
\]

Vậy ta cũng đã chứng minh được rằng \( EF = \frac{1}{2} BC \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
1. \( F \) là trung điểm của \( AC \).
2. \( EF = \frac{1}{2} BC \).