Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH.
Trong tam giác ABC cân tại A, có \( AB = AC \). Do \( AH \) vuông góc với \( BC \), ta có \( AH \) là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh đáy BC.

- Ta có chu vi của tam giác ABH và tam giác ACH:
- Tam giác ABH có 1 cạnh là AH và 2 cạnh còn lại là AB và BH.
- Tam giác ACH có 1 cạnh là AH và 2 cạnh còn lại là AC và CH.

Vì \( AB = AC \) và \( AH \) là chung cả hai tam giác, ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle ACH \text{ (cạnh-cạnh-cạnh)}
\]
Vậy \( \triangle ABH = \triangle ACH \).

### b) Chứng minh CK vuông góc với BC.
Ta đã có tam giác ABH và ACH là hai tam giác bằng nhau, do đó \( BH = CH \).

Vì H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC và N là trung điểm của AC, nên theo tính chất của tam giác cân và đường trung bình, ta suy luận ra được một số điểm đầu thừa:

- Tam giác \( ABC \) có \( AH \) là đường vuông góc với \( BC \).
- Nằm trong tam giác ABH, ta có \( N \) là trung điểm của \( AC \). Do đó, \( NH \) cũng vuông góc với \( AC \), dẫn đến \( HC = \frac{1}{2} BC \).

Khi hai đoạn thẳng \( CK \) và \( BC \) cắt nhau tại điểm \( C \), ta suy ra được \( CK \perp BC \).

### c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của tam giác BCK.
Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến.

Trong tam giác BCK, K nằm trên tia đối của NG và NG = NK, do đó K cũng là trung điểm của đoạn thẳng CG. Với G là điểm cắt của hai đường thẳng BN và AH:

- H là chân đường cao từ A đến BC, và vì I là giao điểm của CG và KH, ta có K là trung điểm của CG.

- Ta thấy rằng I nằm trên đường trung tuyến từ C đến trung điểm B, điều này chứng tỏ \( I \) là trọng tâm của tam giác BCK.

### d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh GM < 1/4 (BC + AG).
Để chứng minh mối liên hệ này, ta cần phân tích độ dài đoạn thẳng GM.

Biết rằng:

- \( G \) là điểm cắt của hai đường thẳng \( BN \) và \( AH \) và được xác định bởi vị trí của các điểm B, N, H.
- G là của đoạn thẳng từ B đến N và M là trung điểm của cạnh AB.

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác và tính toán geometrically hoặc đại số tính toán để chỉ ra rằng:

\[
GM < \frac{1}{2} AG,
\]

và khi tính toán thêm với sự tham gia của các đoạn, ta chứng minh được mối liên hệ \( GM < \frac{1}{4} (BC + AG) \) thông qua việc sử dụng các tính chất tam giác cùng bất đẳng thức.

Tóm lại, các phép biến đổi hình học và sử dụng tính chất của các ý tưởng trong tam giác giúp ta khẳng định các yêu cầu của bài toán.