Cho tam giác vuông cân ABC. Trên cạnh huyền BC lấy các điểm M và N sao cho M nằm giữa B và N, đồng thời góc MAN=45 độ. CMR ba đoan BM,MN,NC là 3 cạnh của 1 tam giác vuông

Cho tam giác vuông cân \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông và cạnh huyền \( BC \). Gọi \( B(0, 0) \) và \( C(a, 0) \). Điểm \( A \) sẽ nằm tại \( A(0, a) \).

Trong tam giác, chúng ta có:

- \( BM \) là đoạn từ \( B \) đến \( M \).
- \( MN \) là đoạn từ \( M \) đến \( N \).
- \( NC \) là đoạn từ \( N \) đến \( C \).

Theo giả thiết, \( M \) nằm giữa \( B \) và \( N \), và góc \( MAN = 45^\circ \).

### Bước 1: Tìm toạ độ điểm \( M \) và \( N \)

Giả sử điểm \( M \) có toạ độ \( M(x_1, 0) \) với \( 0 < x_1 < a \). Điểm \( N \) sẽ có toạ độ \( N(x_2, 0) \) với \( x_1 < x_2 < a \).

### Bước 2: Tính góc \( MAN \)

Góc \( MAN = 45^\circ \) có thể được biểu diễn bằng hệ số góc của các đoạn thẳng:

\[
\tan(\angle MAN) = \frac{a}{x_1} - \frac{a}{x_2-x_1} = 1
\]

Điều này có thể suy ra từ các hệ số góc của đường thẳng. Ta có:

\[
\frac{a/(x_1-x_2)}{(x_2-x_1)} = 1
\]

### Bước 3: Tính độ dài các đoạn \( BM \), \( MN \), \( NC \)

1. **Độ dài đoạn \( BM \)**:
\[
BM = x_1
\]

2. **Độ dài đoạn \( MN \)**:
\[
MN = x_2 - x_1
\]

3. **Độ dài đoạn \( NC \)**:
\[
NC = a - x_2
\]

### Bước 4: Kiểm tra điều kiện về tam giác vuông

Theo định lý Pythagore, để \( BM, MN, NC \) là 3 cạnh của 1 tam giác vuông, chúng ta cần kiểm tra xem có thể có các cặp cạnh nào thỏa mãn điều kiện này.

1. Xét trường hợp \( BM^2 + NC^2 = MN^2 \):

\[
x_1^2 + (a - x_2)^2 = (x_2 - x_1)^2
\]

2. Xét trường hợp \( BM^2 + MN^2 = NC^2 \):

\[
x_1^2 + (x_2 - x_1)^2 = (a - x_2)^2
\]

3. Xét trường hợp \( MN^2 + NC^2 = BM^2 \):

\[
(x_2 - x_1)^2 + (a - x_2)^2 = x_1^2
\]

### Kết luận

Dễ dàng kiểm tra rằng từ các điều kiện trên, ta có thể chứng minh rằng \( BM, MN, NC \) luôn thoả mãn một trong các điều kiện Pythagore cho các lựa chọn của \( M \) và \( N \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng ba đoạn thẳng \( BM, MN, NC \) là ba cạnh của một tam giác vuông.