Để chứng minh tứ giác \(BCHK\) là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(GH\), và \(N\) là trung điểm của \(GK\).
- Do \(B\) và \(C\) là hai đỉnh của tam giác cân \(ABC\), \(BM\) và \(CN\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(G\).

2. **Tính chất của trung điểm**:
- Theo định nghĩa, \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(GH\) và \(GK\) nên ta có:
\[
GM = MH \quad \text{và} \quad GN = NK
\]

3. **Chứng minh các đường chéo**:
- Tứ giác \(BCHK\) sẽ là hình chữ nhật nếu hai đường chéo \(BK\) và \(CH\) vuông góc với nhau.

4. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến**:
- Vì \(BM\) và \(CN\) là các đường trung tuyến, tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), suy ra các góc \(BGA\) và \(CGA\) sẽ bằng nhau.
- Điều này dẫn đến rằng \(G\) là trung điểm của đoạn nối \(BC\), do đó \(BG = GC\).

5. **Chứng minh vuông góc**:
- Ta cần chứng minh rằng góc \(BGK\) và \(CGH\) bằng 90 độ.
- Do \(M\) là trung điểm của \(GH\) và \(N\) là trung điểm của \(GK\), các đoạn \(MG\), \(MH\), \(NG\), và \(NK\) sẽ vẽ ra hệ tọa độ vuông góc.

6. **Kết luận**:
- Với mọi điều kiện trên, tứ giác \(BCHK\) thỏa mãn điều kiện của hình chữ nhật (có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau cũng như các góc vuông).
- Do đó, suy ra \(BCHK\) là hình chữ nhật.

Chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác \(BCHK\) là hình chữ nhật.