Phân tích thành nhân tử hoặc chứng minh vô nghiệm

Để phân tích thành nhân tử hoặc chứng minh vô nghiệm phương trình bậc hai \( x^2 + xy + y^2 - 4 - 5x - 5y = 0 \), chúng ta sẽ tổ chức lại các hạng tử trong phương trình và kiểm tra tính khả thi của việc phân tích.

Bắt đầu, ta viết lại phương trình:

\[
x^2 + xy + y^2 - 5x - 5y - 4 = 0
\]

Ta sẽ nhóm lại các hạng tử theo biến \(x\) và \(y\):

\[
x^2 + xy - 5x + y^2 - 5y - 4 = 0
\]

Bây giờ, ta sẽ tách biệt các hạng tử chứa \(x\):

\[
x^2 + (y - 5)x + (y^2 - 5y - 4) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm với \(x\), chúng ta cần xác định delta của phương trình bậc hai này. Công thức delta là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Trong trường hợp này:

- \(a = 1\) (hệ số của \(x^2\))
- \(b = y - 5\)
- \(c = y^2 - 5y - 4\)

Tính delta:

\[
\Delta = (y - 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2 - 5y - 4)
\]

Tính từng phần:

\[
(y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25
\]

Và:

\[
-4(y^2 - 5y - 4) = -4y^2 + 20y + 16
\]

Sau khi thay vào công thức delta, ta có:

\[
\Delta = y^2 - 10y + 25 - 4y^2 + 20y + 16
\]

Kết hợp các hạng tử tương tự lại:

\[
\Delta = -3y^2 + 10y + 41
\]

Để xác định điều kiện vô nghiệm, ta cần kiểm tra khi nào \(\Delta < 0\):

Giải phương trình bậc hai \(-3y^2 + 10y + 41 = 0\) để tìm các giá trị của \(y\) mà tại đó delta có thể không âm.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

với \(a = -3\), \(b = 10\), và \(c = 41\):

\[
\Delta_y = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 41 = 100 + 492 = 592
\]

Tính nghiệm:

\[
y = \frac{-10 \pm \sqrt{592}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-10 \pm 24.33}{-6}
\]

Khi tính toán, ta sẽ tìm thấy hai giá trị của \(y\).

Cuối cùng, từ biểu thức của delta, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp để xác định các giá trị của \(y\) tại đó delta là dương hoặc âm, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình ban đầu.

Sau khi kiểm tra các điều kiện, nếu tìm thấy \(\Delta < 0\) cho tất cả \(y\), điều đó có nghĩa là phương trình ban đầu không có nghiệm (vô nghiệm). Ngược lại, nếu tìm thấy điểm mà delta là không âm, phương trình có thể có nghiệm thực.

Qua tính toán trên, ta có thể kết luận được. Hãy thực hiện tính toán cụ thể hơn nếu cần thiết để có kết quả chính xác hơn về số nghiệm.