Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) cho từng phương trình, chúng ta sẽ lần lượt giải chúng.

### a) \(x^2 + 4x + 4 - 9y^2 = 7\)

Ta có:
\[
x^2 + 4x - 9y^2 + 4 - 7 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 9y^2 - 3 = 0
\]

Phương trình này có thể giải theo \(x\) như sau:
\[
x^2 + 4x + (-9y^2 - 3) = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 36y^2 + 12}}{2}
\]
\[
= \frac{-4 \pm \sqrt{36y^2 + 28}}{2}
\]

Do đó, điều kiện bên trong căn phải là một số chính phương:
\[
36y^2 + 28 \text{ phải là số chính phương.}
\]

### b) \(x^2 + 2x - y^2 + 6y = 9\)

Ta có:
\[
x^2 + 2x - y^2 + 6y - 9 = 0
\]

Giải phương trình này theo \(x\):
\[
x^2 + 2x + (-y^2 + 6y - 9) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(y^2 - 6y + 9)}}{2}
\]
\[
= -1 \pm \sqrt{y^2 - 6y + 13}
\]

Điều kiện để nghiệm là số nguyên là \(y^2 - 6y + 13\) phải là một số chính phương.

### c) \(x^2y + 3x^2 + y + 3 = 0\)

Ta có:
\[
x^2y + y + 3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow y(x^2 + 1) + 3x^2 + 3 = 0
\]
\[
y = \frac{-3x^2 - 3}{x^2 + 1}
\]

Để \(y\) là số nguyên, \( -3(x^2 + 1)\) phải chia hết cho \(x^2 + 1\). Nên \(3\) phải chia hết cho \(x^2 + 1\) để \(y\) là số nguyên.

### Tóm tắt:
- **Phương trình a)**: Kiểm tra các giá trị nguyên \(y\) để thấy liệu \(36y^2 + 28\) có phải số chính phương không.
- **Phương trình b)**: Kiểm tra các giá trị nguyên \(y\) để xem \(y^2 - 6y + 13\) có phải số chính phương hay không.
- **Phương trình c)**: Tìm các \(x\) sao cho \(3\) chia hết cho \(x^2 + 1\).

Hãy thử các giá trị \(y\) hoặc \(x\) nhỏ, từ đó tìm ra các cặp số nguyên phù hợp cho từng phương trình.