Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán sách giáo khoa về tam giác vuông ABC, ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác ABE = tam giác ABE
Đầu tiên, ta cần minh chứng rằng tam giác ABE là tam giác vuông cân. Ta có:

1. **Góc ABE:** Do AE là tia phân giác của góc BAC, nên góc BAE = góc EAC.
2. **AC = 2AB**: Vì tam giác ABC vuông tại B, ta có AC = 2AB.
3. **Chứng minh AE = BE:** Giả sử AE phân chia BC thành hai đoạn BE và EC. Ta có (do định nghĩa của phân giác):
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}
\]
Do AC = 2AB, nên \(\frac{AB}{2AB} = \frac{BE}{EC}\) dẫn đến \(\frac{1}{2} = \frac{BE}{EC}\), suy ra BE = EC. Do đó, BE = EB và AE = BE.

Từ những thông tin này, có:
- \(AB = AB\) (cạnh chung).
- \(AE = BE\).
- Góc ABE = góc ABE (góc vuông tại B).

Do đó, \( \triangle ABE \cong \triangle ABE \) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

Từ đây, suy ra D là trung điểm của AC vì AE = BE.

### b) Chứng minh tam giác ADE = tam giác CDE
Để chứng minh hai tam giác ADE và CDE là bằng nhau, ta sẽ dùng thuộc tính của các đường vuông góc:

1. **AD = CD:** Từ kết quả ở phần a, D là trung điểm của AC, vậy AD = CD.
2. **DE là cạnh chung của cả hai tam giác.**
3. **Góc ADE = góc CDE:** Vì ED vuông góc với AC nên góc ADE = góc CDE = 90 độ.

Vì vậy, ta có:
- \(AD = CD\),
- \(DE = DE\),
- Góc ADE = góc CDE.

Theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCG), ta suy ra:
\(\triangle ADE \cong \triangle CDE\).

### c) Tính các góc A và C của tam giác ABC
Ta có các cạnh của tam giác ABC với AC = 2AB. Để tính các góc A và C, ta sử dụng định nghĩa của tan và cotan trong tam giác vuông.

1. Theo định nghĩa tan trong tam giác vuông tại B:
\[
\tan A = \frac{BC}{AB} \quad và \quad \tan C = \frac{AB}{BC}.
\]

2. Từ AC = 2AB, áp dụng Định lý Pytago cho tam giác vuông ABC ta có:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow (2AB)^2 = AB^2 + BC^2 \Rightarrow 4AB^2 = AB^2 + BC^2.
\]
Suy ra \(3AB^2 = BC^2\) và \(BC = AB\sqrt{3}\).

3. Giờ ta có thể tính các góc:
\[
\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{AB\sqrt{3}}{AB} = \sqrt{3} \Rightarrow A = 60^\circ.
\]
\[
\tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{AB\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow C = 30^\circ.
\]

### Nhận xét
Như vậy, trong tam giác ABC, góc A = 60° và góc C = 30°. Đây là một định lý cơ bản trong tam giác vuông lần này chứng minh cho mối liên hệ giữa các góc và cạnh. Tâm giác ABC có tỉ lệ cạnh nhất định, dẫn tới hình dạng đặc biệt với các góc xác định.

Cảm ơn bạn, tôi hy vọng phản hồi này hữu ích cho bạn!