Để chứng minh các biểu thức \( A \), \( B \) và \( C \) luôn đúng với mọi \( x \), chúng ta có thể phân tích từng biểu thức và kiểm tra tính chất của chúng.

### 1. Biểu thức \( A = x^2 + 6x + 10 \)

Chúng ta có thể tính toán và tìm nghiệm của phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
A = 0 \Rightarrow x^2 + 6x + 10 = 0 \\
\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực, tức là biểu thức \( A \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### 2. Biểu thức \( B = x^2 - 5x + 25 \)

Tương tự, ta tính \(\Delta\):

\[
B = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 25 = 0 \\
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình này cũng không có nghiệm thực, tức là biểu thức \( B \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### 3. Biểu thức \( C = 3x^2 - 6x + 12 \)

Tính \(\Delta\):

\[
C = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 12 = 0 \\
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 36 - 144 = -108
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực, tức là biểu thức \( C \) cũng luôn dương với mọi giá trị của \( x \).

### Kết luận

Từ kết quả trên, ta thấy rằng:

- \( A > 0 \) với mọi \( x \)
- \( B > 0 \) với mọi \( x \)
- \( C > 0 \) với mọi \( x \)

Vì vậy, các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \) đều luôn đúng với mọi giá trị của \( x \).