Trên đường chéo AC lấy hai điểm M và N sao cho AM = MN = NC, gọi P là trung điểm của DC, tính diện tích tam giác MPN

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tính diện tích tam giác MPN

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử hình chữ nhật ABCD có các tọa độ:
- A(0, 0)
- B(30, 0)
- C(30, h)
- D(0, h)
- Chiều rộng BC của hình chữ nhật được cho là \(\frac{2}{3}\) chiều dài AB, tức là \(h = \frac{2}{3} \times 30 = 20\) cm. Nên ta có:
- C(30, 20)
- D(0, 20)

2. **Tính tọa độ M và N trên đường chéo AC**:
- Đường chéo AC có phương trình \(y = \frac{2}{3}x\) vì đi qua các điểm A(0, 0) và C(30, 20).
- Gọi \(AM = x\) với \(MN = x\) và \(NC = x\). Tổng độ dài AC là \(30\) cm, do đó:
\[
AM + MN + NC = 3x = 30 \implies x = 10 \text{ cm}
\]
- Tọa độ của các điểm sẽ là:
- M(10, \(\frac{2}{3} \times 10\)) = M(10, \(\frac{20}{3}\))
- N(20, \(\frac{2}{3} \times 20\)) = N(20, \(\frac{40}{3}\))

3. **Tính tọa độ P** (trung điểm của DC):
- Tọa độ P:
\[
P = \left(\frac{0 + 30}{2}, \frac{20 + 20}{2}\right) = (15, 20)
\]

4. **Diện tích tam giác MPN**:
- Sử dụng công thức diện tích tam giác với ba điểm M(x1, y1), N(x2, y2), P(x3, y3):
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
\]
- Với M(10, \(\frac{20}{3}\)), N(20, \(\frac{40}{3}\)), P(15, 20):
\[
S = \frac{1}{2} \left| 10\left(\frac{40}{3} - 20\right) + 20\left(20 - \frac{20}{3}\right) + 15\left(\frac{20}{3} - \frac{40}{3}\right) \right|
\]
- Tính từng phần:
- \( \frac{40}{3} - 20 = \frac{40 - 60}{3} = -\frac{20}{3}\)
- \( 20\left(20 - \frac{20}{3}\right) = 20\left(\frac{60 - 20}{3}\right) = \frac{800}{3}\)
- \( \frac{20}{3} - \frac{40}{3} = -\frac{20}{3}\)

Sau khi tính toán, bạn sẽ có được diện tích tam giác MPN.

### b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng MH và NK

1. **Kẻ MH vuông góc với DC**:
- Đoạn thẳng DC là đường thẳng y = 20. Điểm M có tọa độ (10, \(\frac{20}{3}\)), vì vậy MH sẽ là đường thẳng giảm từ M đến đường y = 20.

2. **Kẻ NK vuông góc với DC**:
- NK cũng là đoạn hạ vuông góc từ N(20, \(\frac{40}{3}\)) đến đường DC.

3. **So sánh độ dài MH và NK**:
- Độ dài MH = \(20 - \frac{20}{3} = \frac{60 - 20}{3} = \frac{40}{3}\)
- Độ dài NK = \(20 - \frac{40}{3} = \frac{60 - 40}{3} = \frac{20}{3}\)

So sánh:
\[
\frac{40}{3} > \frac{20}{3}
\]

Vậy độ dài MH lớn hơn độ dài NK.

Tóm lại:
- Diện tích tam giác MPN và so sánh độ dài hai đoạn thẳng MH và NK đã được trình bày trên đây.