Giải phương trình nghiệm nguyên

Để giải phương trình nghiệm nguyên \( x^2y^2(x+y) + x + y = 3 + xy \), ta bắt đầu bằng cách biến đổi lại phương trình để tìm các mối quan hệ giữa \( x \) và \( y \).

Ta có thể chuyển các hạng tử về một phía của phương trình:

\[
x^2y^2(x+y) + x + y - xy - 3 = 0
\]

Để giải phương trình này, ta thử giới hạn giá trị của \( x \) và \( y \). Giả sử \( x \) và \( y \) đều là các số nguyên.

Cách tiếp cận đầu tiên là thử một số giá trị nguyên cho \( x \) và \( y \):

1. **Trường hợp \( x = 0 \)**:
\[
0 + y = 3 \Rightarrow y = 3
\]
Kết quả nghiệm là \( (0, 3) \).

2. **Trường hợp \( y = 0 \)**:
\[
x + 0 = 3 \Rightarrow x = 3
\]
Kết quả nghiệm là \( (3, 0) \).

3. **Trường hợp \( x = 1 \)**:
\[
1^2 \cdot y^2(1 + y) + 1 + y = 3 + 1y
\]
\[
y^2(1 + y) + 1 + y = 3 + y
\]
\[
y^2(1 + y) - 2 = 0
\]
\[
y^2 + y - 2 = 0
\]
Phương trình này có nghiệm:
\[
(y - 1)(y + 2) = 0 \Rightarrow y = 1 \text{ hoặc } y = -2
\]
Kết quả là hai nghiệm \( (1, 1) \) và \( (1, -2) \).

4. **Trường hợp \( x = 2 \)**:
\[
2^2y^2(2+y) + 2 + y = 3 + 2y
\]
\[
4y^2(2 + y) + 2 + y = 3 + 2y
\]
\[
4y^3 + 8y^2 - y - 1 = 0
\]
Đây là một phương trình bậc ba phức tạp hơn. Thay vào đó, ta thử các giá trị nhỏ hơn cho \( y \).

5. **Trường hợp \( y = 1 \)**:
Tương tự như trên, với \( y = 1 \):
\[
x^2 + x + 1 - 3 - x = 0 \Rightarrow x^2 + 1 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = 1, -1
\]

Sau khi thử một số trường hợp nhất định, ta tìm ra các nghiệm nguyên là:
- \( (0, 3), (3, 0), (1, 1), (1, -2), (2, -2), (-2, 2) \).

Cuối cùng, ta tóm tắt các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:

\[
(x, y) = (0, 3), (3, 0), (1, 1), (1, -2), (-2, 1), (2, -2).
\]

Như vậy, đáp án là các cặp nghiệm nguyên.