Tìm các cặp số nguyên x,y biết

Để tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình

\[
2x^2 + y^2 + xy = 2(x + y),
\]

ta sẽ biến đổi phương trình này.

Đầu tiên, ta chuyển mọi hạng tử về một bên:

\[
2x^2 + y^2 + xy - 2x - 2y = 0.
\]

Phương trình này là một đa thức bậc 2 theo biến \( x \):

\[
2x^2 + (y - 2)x + (y^2 - 2y) = 0.
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên \( x \), điều kiện cần thỏa mãn là delta (định thức) của phương trình này phải là một số chính phương. Delta được tính như sau:

\[
\Delta = (y - 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (y^2 - 2y) = (y - 2)^2 - 8(y^2 - 2y).
\]

Tính toán delta:

\[
\Delta = (y^2 - 4y + 4) - 8y^2 + 16y = -7y^2 + 12y + 4.
\]

Để \( \Delta \) là một số chính phương, ta cần tìm \( y \) sao cho:

\[
-7y^2 + 12y + 4 = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z}).
\]

Ta sẽ kiểm tra một vài giá trị của \( y \) và giải phương trình bậc 2 trên, từ đó tìm ra các giá trị của \( x \).

Bây giờ, ta sẽ thử với các giá trị của \( y \):

1. **Khi \( y = 0 \):**
\[
2x^2 - 2x = 0 \implies 2x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1.
\]
Vậy cặp \( (x, y) = (0, 0), (1, 0) \).

2. **Khi \( y = 1 \):**
\[
2x^2 - x - 1 = 0 \implies (2x + 1)(x - 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \text{ hoặc } x = 1.
\]
Vậy cặp \( (x, y) = (1, 1) \).

3. **Khi \( y = 2 \):**
\[
2x^2 - 2 = 0 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1.
\]
Vậy cặp \( (x, y) = (1, 2), (-1, 2) \).

4. **Khi \( y = 3 \):**
\[
2x^2 + x - 3 = 0.
\]
Tính delta: \( \Delta = 1 + 24 = 25 \) (là chính phương).
\[
x = \frac{-1 \pm 5}{4} \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -\frac{3}{2}.
\]
Vậy cặp \( (x, y) = (1, 3) \).

5. **Khi \( y = 4 \):**
\[
2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies 2x^2 + 2x - 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0.
\]
Giải ra được:
\[
(x - 1)(x + 2) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -2.
\]
Vậy cặp \( (x, y) = (1, 4), (-2, 4) \).

Tương tự ta có thể tiếp tục cho các giá trị khác của \( y \).

**Các cặp số nguyên \( (x, y) \) tìm được là:**
\[
(0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (-1, 2), (1, 3), (1, 4), (-2, 4).
\]

Người dùng nên thử các giá trị khác của \( y \) để tìm được tất cả các cặp nghiệm thoả mãn.