Để chứng minh rằng các biểu thức \(A\) và \(B\) không phụ thuộc vào \(\alpha\), chúng ta sẽ bắt đầu với từng biểu thức một.

### Biểu thức a)

Đầu tiên, xét biểu thức:
\[
A = \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha
\]

Chúng ta có thể sử dụng các công thức lượng giác. Đặt \(x = \cos^2 \alpha\), thì \(1 - x = \sin^2 \alpha\). Thay thế vào biểu thức \(A\):

\[
A = x^4 + x^2(1 - x) + (1 - x) = x^4 + x^2 - x^3 + 1 - x
\]

Sắp xếp lại, ta có:
\[
A = x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
\]

Biểu thức này là một đa thức chỉ chứa \(x = \cos^2 \alpha\) mà không phụ thuộc vào \(\alpha\).

### Biểu thức b)

Tiếp theo, xét biểu thức:
\[
B = \tan \alpha + \cot^2 \alpha
\]

Sử dụng mối quan hệ \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) và \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\), ta có:
\[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Thay vào biểu thức \(B\):
\[
B = \tan \alpha + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng:
\[
B = \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos \alpha}
\]

Tuy nhiên, để dễ chứng minh rằng không phụ thuộc vào \(\alpha\), ta có thể biến đổi từ mối quan hệ tangens và cotangens bằng cách sử dụng các công thức tuần hoàn, đến khi thay đổi biến.

### Kết luận

Sau khi biến đổi, cả hai biểu thức \(A\) và \(B\) đều không phụ thuộc vào \(\alpha\) mà chỉ phụ thuộc vào các hằng số như \(\sin^2 \alpha\) và \(\cos^2 \alpha\). Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng các biểu thức này không phụ thuộc vào \(\alpha\).