Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là tia phân giác góc A. Vẽ DM vuông góc với AB tại M, Vẽ DN vuông góc với AC tại N. Hỏi tứ giác AMDN là hình gì?

Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), khi \( AD \) là tia phân giác của góc \( A \) (với \( D \in BC \)), ta có tam giác \( ABC \) với các góc vuông ở \( A \).

Khi vẽ \( DM \) vuông góc với \( AB \) tại \( M \) và \( DN \) vuông góc với \( AC \) tại \( N \):

1. \( AM \) là một đoạn thẳng nối điểm \( A \) với điểm \( M \), và vì \( M \) nằm trên hình chiếu xuống của \( D \) trên \( AB \) nên \( AM \) sẽ không vuông góc với \( AB \).
2. Tương tự, \( AN \) là đoạn nối điểm \( A \) với điểm \( N \), với \( N \) là hình chiếu của \( D \) xuống \( AC \) cũng không vuông góc với \( AC \).

Tứ giác \( AMDN \) sẽ được định nghĩa bởi các điểm \( A, M, D, N \).

Bây giờ xem xét các góc trong tứ giác:

- \( \angle AMD = 90^\circ \) (vì \( DM \) vuông góc với \( AB \))
- \( \angle AND = 90^\circ \) (vì \( DN \) vuông góc với \( AC \))
- Tia \( AD \) là tia phân giác, nên \( \angle MAD = \angle NAD \).

Do đó chúng ta có:

- \( \angle AMD + \angle AND = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Như vậy, tứ giác \( AMDN \) có 2 góc kề nhau là 90°, dẫn tới tứ giác này là một hình chữ nhật.

Tóm lại, tứ giác \( AMDN \) là hình chữ nhật.